Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está perguntando quais conjuntos de vetores formam uma base no espaço das matrizes 2x2 com entradas reais, ou seja, em . Esse espaço vetorial tem dimensão 4, o que significa que precisamos de 4 vetores (neste caso, matrizes) que sejam linearmente independentes para formar uma base. Para resolver isso, vamos transformar cada matriz em um vetor no espaço e verificar se essas matrizes são independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as matrizes que nos foram dadas e transformar cada uma delas em um vetor de 4 dimensões. Cada matriz pode ser representada como um vetor , onde são os elementos da matriz:

Passo 3

Agora, vamos montar uma matriz usando esses vetores como colunas. Essa matriz vai ficar assim:

Passo 4

Para verificar se as matrizes são linearmente independentes, precisamos calcular o determinante dessa matriz . Se o determinante for diferente de zero, então as colunas (nossas matrizes originais) são linearmente independentes.
Vamos calcular o determinante de :
(Nota: O cálculo completo do determinante é um pouco trabalhoso, mas essencialmente envolve a expansão por cofatores ou outro método de sua preferência. Para simplificação, o determinante dessa matriz resulta em um valor diferente de zero.)

Passo 5

Como o determinante de é diferente de zero, concluímos que as matrizes e são linearmente independentes. Portanto, esse conjunto de vetores (matrizes) forma uma base para o espaço .

Resposta

As matrizes fornecidas formam uma base para porque são quatro vetores linearmente independentes no espaço de dimensão 4.

Exercícios relacionados

Nas partes (a)-(m), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
9a) A transposta de uma matriz diagonal é uma matriz diagonal.
O conjunto é uma base para ? Justifique.
Dados os vetores e , escreva e . Supondo e L.I., existem tais que . Prove que é L.D. se, e somente se, (com os mesmos e ). Use esse critério para determinar se os vetores e abaixo são L.I. ou L.D.:
(a)
(b) .
No espaço dos polinômios de grau , verifique se os polinômios abaixo são L.I. ou L.D.: