Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está perguntando quais conjuntos de vetores formam uma base no espaço das matrizes 2x2 com entradas reais, ou seja, em . Esse espaço vetorial tem dimensão 4, o que significa que precisamos de 4 vetores (neste caso, matrizes) que sejam linearmente independentes para formar uma base. Para resolver isso, vamos transformar cada matriz em um vetor no espaço e verificar se essas matrizes são independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos listar as matrizes que nos foram dadas e transformar cada uma delas em um vetor de 4 dimensões. Cada matriz pode ser representada como um vetor , onde são os elementos da matriz:
Passo 3
Agora, vamos montar uma matriz usando esses vetores como colunas. Essa matriz vai ficar assim:
Passo 4
Para verificar se as matrizes são linearmente independentes, precisamos calcular o determinante dessa matriz . Se o determinante for diferente de zero, então as colunas (nossas matrizes originais) são linearmente independentes.
Vamos calcular o determinante de :
(Nota: O cálculo completo do determinante é um pouco trabalhoso, mas essencialmente envolve a expansão por cofatores ou outro método de sua preferência. Para simplificação, o determinante dessa matriz resulta em um valor diferente de zero.)
Passo 5
Como o determinante de é diferente de zero, concluímos que as matrizes e são linearmente independentes. Portanto, esse conjunto de vetores (matrizes) forma uma base para o espaço .
Resposta
As matrizes fornecidas formam uma base para porque são quatro vetores linearmente independentes no espaço de dimensão 4.