Estude a dependência ou independência linear dos conjuntos seguintes

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se o conjunto de quatro vetores em um espaço de cinco dimensões é linearmente dependente ou independente. Isso pertence ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente ao estudo de combinação linear e independência linear. Para resolver isso, vamos precisar analisar se existe uma combinação dos vetores que resulta no vetor nulo, além da combinação trivial (onde todos os coeficientes são zero).

Passo 2

Vamos começar organizando os vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna da matriz. Assim, teremos:

Passo 3

Para verificar a independência linear, precisamos encontrar se a única solução para a equação é . Isso significa que devemos resolver o sistema de equações lineares correspondente.

Passo 4

Vamos escrever o sistema de equações lineares:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da segunda equação, imediatamente temos:

Passo 6

Agora, substituímos na terceira, quarta e quinta equações:
Simplificando:

Passo 7

Vamos resolver a segunda equação para :

Passo 8

Substituímos na primeira e terceira equações:
Primeira equação:
Terceira equação:

Passo 9

Com , substituímos de volta para encontrar os demais valores:
E já tínhamos .

Passo 10

Assim, a única solução possível para o sistema é . Isso significa que a única combinação linear que resulta no vetor nulo é a combinação trivial.

Resposta

O conjunto de vetores é linearmente independente.

Exercícios relacionados

Seja , e consideremos a matriz cujas colunas são os vetores de , é dizer
Mostre que o conjunto é . se e somente se o sistema linear
tem como única solução .
Estude se os conjuntos de vetores seguintes geram :
O conjunto é uma base para ? Justifique.
Nas partes (a)-(m), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
9a) A transposta de uma matriz diagonal é uma matriz diagonal.