Estude a dependência ou independência linear dos conjuntos seguintes
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se o conjunto de quatro vetores em um espaço de cinco dimensões é linearmente dependente ou independente. Isso pertence ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente ao estudo de combinação linear e independência linear. Para resolver isso, vamos precisar analisar se existe uma combinação dos vetores que resulta no vetor nulo, além da combinação trivial (onde todos os coeficientes são zero).
Passo 2
Vamos começar organizando os vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna da matriz. Assim, teremos:
Passo 3
Para verificar a independência linear, precisamos encontrar se a única solução para a equação é . Isso significa que devemos resolver o sistema de equações lineares correspondente.
Passo 4
Vamos escrever o sistema de equações lineares:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da segunda equação, imediatamente temos:
Passo 6
Agora, substituímos na terceira, quarta e quinta equações:
Simplificando:
Passo 7
Vamos resolver a segunda equação para :
Passo 8
Substituímos na primeira e terceira equações:
Primeira equação:
Terceira equação:
Passo 9
Com , substituímos de volta para encontrar os demais valores:
E já tínhamos .
Passo 10
Assim, a única solução possível para o sistema é . Isso significa que a única combinação linear que resulta no vetor nulo é a combinação trivial.