Estude a dependência ou independência linear dos conjuntos seguintes
(l1 0 1 1 1),(c0 1 -1 1 1),(c2 0 -1 0 1),(c0 0 -1 2 1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se o conjunto de quatro vetores em um espaço de cinco dimensões é linearmente dependente ou independente. Isso pertence ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente ao estudo de combinação linear e independência linear. Para resolver isso, vamos precisar analisar se existe uma combinação dos vetores que resulta no vetor nulo, além da combinação trivial (onde todos os coeficientes são zero).

Passo 2

Vamos começar organizando os vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna da matriz. Assim, teremos:
A = 1 & 0 & 2 & 0 0 & 1 & 0 & 0 1 & -1 & -1 & -1 1 & 1 & 0 & 2 1 & 1 & 1 & 1

Passo 3

Para verificar a independência linear, precisamos encontrar se a única solução para a equação é . Isso significa que devemos resolver o sistema de equações lineares correspondente.

Passo 4

Vamos escrever o sistema de equações lineares:
1x1 + 0x2 + 2x3 + 0x4 = 0 0x1 + 1x2 + 0x3 + 0x4 = 0 1x1 - 1x2 - 1x3 - 1x4 = 0 1x1 + 1x2 + 0x3 + 2x4 = 0 1x1 + 1x2 + 1x3 + 1x4 = 0

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da segunda equação, imediatamente temos:
x2 = 0

Passo 6

Agora, substituímos 1x1 - 1(0) - 1x3 - 1x4 = 0 1x1 + 1(0) + 0x3 + 2x4 = 0 1x1 + 1(0) + 1x3 + 1x4 = 0 na terceira, quarta e quinta equações:
x1 - x3 - x4 = 0 x1 + 2x4 = 0 x1 + x3 + x4 = 0
Simplificando:

Passo 7

Vamos resolver a segunda equação para x1 + 2x4 = 0 implies x1 = -2x4 :

Passo 8

Substituímos -2x4 - x3 - x4 = 0 implies -3x4 - x3 = 0 implies x3 = -3x4 na primeira e terceira equações:
Primeira equação:
-2x4 + (-3x4) + x4 = 0 implies -4x4 = 0 implies x4 = 0
Terceira equação:

Passo 9

Com x1 = -2(0) = 0 x3 = -3(0) = 0 , substituímos de volta para encontrar os demais valores:
E já tínhamos .

Passo 10

Assim, a única solução possível para o sistema é . Isso significa que a única combinação linear que resulta no vetor nulo é a combinação trivial.

Resposta

O conjunto de vetores é linearmente independente.

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