Nas partes (a)-(m), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
9a) A transposta de uma matriz diagonal é uma matriz diagonal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta é sobre matrizes diagonais e suas transpostas. O conteúdo aqui envolve álgebra linear, especificamente propriedades de matrizes. Para resolver, vamos precisar saber o que é uma matriz diagonal e como funciona a transposição de matrizes.
Passo 2
Primeiro, uma matriz diagonal é aquela onde todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Por exemplo:
Passo 3
Agora, a transposta de uma matriz é simplesmente trocar suas linhas por colunas. Ou seja, o elemento que estava na posição (i, j) passa para a posição (j, i). Vamos ver como fica a transposta da matriz diagonal.
Passo 4
Aplicando a transposição na matriz diagonal D:
Passo 5
Percebemos que, após a transposição, a matriz continua com zeros fora da diagonal principal. Isso acontece porque, na matriz diagonal, os elementos fora da diagonal já eram zero e a transposição não altera isso.
Passo 6
Portanto, a transposta de uma matriz diagonal é novamente uma matriz diagonal.
Resposta
A afirmação é verdadeira. A transposta de uma matriz diagonal continua sendo uma matriz diagonal.