Beleza, vamos lá! A questão está perguntando qual dos conjuntos de vetores é linearmente independente (L.I.). Para resolver isso, precisamos entender o que é linear independência na matemática, especialmente em álgebra linear. Vamos precisar verificar, para cada conjunto de vetores dado, se nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Se isso for verdade para um conjunto, ele é considerado linearmente independente.
Passo 2
Vamos dar uma olhada na opção (a): .
Para verificar a linear independência, vamos ver se existe uma combinação dos vetores que resulte no vetor zero, além da combinação trivial (onde todos os coeficientes são zero).
Então, queremos encontrar números e tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
A única solução é , o que significa que os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Agora, vamos para a opção (b): .
Aqui, temos três vetores em . Para verificar a linear independência, montamos a equação:
Isso nos dá o sistema:
As duas primeiras equações nos dizem que . Substituindo na terceira:
Isso significa que existe uma solução não trivial (por exemplo, , então e ), o que indica que os vetores são linearmente dependentes.
Temos três vetores em , mas como o espaço tem dimensão 2, qualquer conjunto com mais de 2 vetores é automaticamente linearmente dependente. Portanto, essa opção é linearmente dependente.
Passo 5
Finalmente, a opção (d): (1,1,0), (1,1,1), (0,1,1).
Vamos verificar a linear independência montando:
a(1,1,0) + b(1,1,1) + c(0,1,1) = (0,0,0)
O sistema fica:
a + b = 0 a + b + c = 0 b + c = 0
Da primeira equação: .
Substituindo na terceira: .
Substituindo na segunda: . Então, e .
A única solução é a trivial (), o que significa que os vetores são linearmente independentes.
Resposta
Os conjuntos que são linearmente independentes são as opções (a) e (d).