Determine os valores de de modo que a matriz tenha determinante igual a 1. Considerando apenas um desses valores de k (a sua escolha), calcule A^-1.
Passo 1
Resumo do Problema:
Queremos encontrar os valores de A = 1 & -1 & -2 0 & k+3 & -11 0 & 1 & k-4 para os quais o determinante da matriz é igual a 1. A matriz é dada por:
Para resolver isso, vamos usar a propriedade do determinante para matrizes e, depois, calcular a matriz inversa para um dos valores encontrados de .
Passo 2
Calculando o Determinante de det(A) = a11 cdot det k+3 & -11 1 & k-4 - a12 cdot det 0 & -11 0 & k-4 + a13 cdot det 0 & k+3 0 & 1 :
O determinante de uma matriz det(A) = 1 cdot [(k+3)(k-4) - (-11)(1)] - (-1) cdot [0 cdot (k-4) - (-11) cdot 0] + (-2) cdot [0 cdot 1 - (k+3) cdot 0] pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Aqui, vamos usar a expansão por cofatores na primeira linha.
det(A) = (k+3)(k-4) + 11
Substituindo os valores de :
Simplificando:
Passo 3
Igualando o Determinante a 1 e Resolvendo para (k+3)(k-4) + 11 = 1 :
Queremos que k^2 - 4k + 3k - 12 + 11 = 1 , então:
k^2 - k - 1 = 1
Expandindo o produto:
k^2 - k - 2 = 0
Simplificando os termos:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Passo 4
Resolvendo a Equação Quadrática para k^2 - k - 2 = 0 :
A equação quadrática é:
k = -b pm raizb^2 - 4ac 2a
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
k = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Onde k = 2 e k = -1 , , e . Substituindo:
Portanto, os valores de são:
Passo 5
Calculando a Matriz Inversa A = 1 & -1 & -2 0 & 5 & -11 0 & 1 & -2 para A^-1 = Adj(A) :