Determine os valores de k in R de modo que a matriz A=(ccc1 & -1 & -2 0 & k+3 & -11 0 & 1 & k-4) tenha determinante igual a 1. Considerando apenas um desses valores de k (a sua escolha), calcule A^-1.

Passo 1

Resumo do Problema:
Queremos encontrar os valores de A = 1 & -1 & -2 0 & k+3 & -11 0 & 1 & k-4 para os quais o determinante da matriz é igual a 1. A matriz é dada por:
Para resolver isso, vamos usar a propriedade do determinante para matrizes e, depois, calcular a matriz inversa para um dos valores encontrados de .

Passo 2

Calculando o Determinante de det(A) = a11 cdot det k+3 & -11 1 & k-4 - a12 cdot det 0 & -11 0 & k-4 + a13 cdot det 0 & k+3 0 & 1 :
O determinante de uma matriz det(A) = 1 cdot [(k+3)(k-4) - (-11)(1)] - (-1) cdot [0 cdot (k-4) - (-11) cdot 0] + (-2) cdot [0 cdot 1 - (k+3) cdot 0] pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Aqui, vamos usar a expansão por cofatores na primeira linha.
det(A) = (k+3)(k-4) + 11
Substituindo os valores de :
Simplificando:

Passo 3

Igualando o Determinante a 1 e Resolvendo para (k+3)(k-4) + 11 = 1 :
Queremos que k^2 - 4k + 3k - 12 + 11 = 1 , então:
k^2 - k - 1 = 1
Expandindo o produto:
k^2 - k - 2 = 0
Simplificando os termos:
Subtraindo 1 de ambos os lados:

Passo 4

Resolvendo a Equação Quadrática para k^2 - k - 2 = 0 :
A equação quadrática é:
k = -b pm raizb^2 - 4ac 2a
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
k = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Onde k = 2 e k = -1 , , e . Substituindo:
Portanto, os valores de são:

Passo 5

Calculando a Matriz Inversa A = 1 & -1 & -2 0 & 5 & -11 0 & 1 & -2 para A^-1 = Adj(A) :
Vamos escolher C11 = det 5 & -11 1 & -2 = (5)(-2) - (-11)(1) = -10 + 11 = 1 e substituir na matriz C12 = -det 0 & -11 0 & -2 = -[0 cdot (-2) - (-11) cdot 0] = 0 :
C13 = det 0 & 5 0 & 1 = 0 cdot 1 - 5 cdot 0 = 0
Para encontrar C21 = -det -1 & -2 1 & -2 = -[(-1)(-2) - (-2)(1)] = -[2 + 2] = -4 , vamos usar o método de matriz adjunta dividido pelo determinante. Sabemos que C22 = det 1 & -2 0 & -2 = 1 cdot (-2) - (-2) cdot 0 = -2 , então:
C23 = -det 1 & -1 0 & 1 = -[1 cdot 1 - (-1) cdot 0] = -1
Calculando a Matriz Adjunta:
A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores de C31 = det -1 & -2 5 & -11 = (-1)(-11) - (-2)(5) = 11 + 10 = 21 .
Primeiro, calculamos os cofatores de cada elemento de C32 = -det 1 & -2 0 & -11 = -[1 cdot (-11) - (-2) cdot 0] = 11 :
  • Cofator C33 = det 1 & -1 0 & 5 = 1 cdot 5 - (-1) cdot 0 = 5 :
Cof(A) = 1 & 0 & 0 -4 & -2 & -1 21 & 11 & 5
  • Cofator Adj(A) = Cof(A)^T = 1 & -4 & 21 0 & -2 & 11 0 & -1 & 5 :
A^-1 = 1 & -4 & 21 0 & -2 & 11 0 & -1 & 5
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
Agora, a matriz de cofatores é:
Transpondo a Matriz de Cofatores para Obter a Adjunta:
Portanto, a matriz inversa é:

Resposta

Os valores de A^-1 = 1 & -4 & 21 0 & -2 & 11 0 & -1 & 5 que satisfazem são e . Escolhendo , a matriz inversa é:

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