Beleza, vamos lá! A questão pede para identificar qual das transformações listadas não é linear. Estamos lidando com transformações lineares, que fazem parte do tópico de Álgebra Linear. Para resolver isso, precisamos lembrar o que caracteriza uma transformação linear e verificar cada opção para ver qual não segue essas regras.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , as duas seguintes propriedades são verdadeiras:
Adição:
Homogeneidade:
Além disso, uma transformação linear sempre envia o vetor zero para o vetor zero, ou seja, .
Passo 3
Vamos analisar cada opção:
(a)
Esta transformação mapeia para . Vamos verificar se :
Isso satisfaz a condição. Além disso, podemos ver que cada componente é uma combinação linear de e , então esta é uma transformação linear.
Passo 4
(b)
Esta também mapeia para . Verificando o vetor zero:
Cada componente é uma combinação linear de e , então esta é uma transformação linear.
Aqui, a transformação mapeia para . Vamos verificar :
Eba! O vetor zero foi mapeado para em vez de . Isso já quebra uma das condições para ser linear. Além disso, o segundo componente não depende de nem de , o que também indica que não é uma combinação linear adequada. Portanto, esta não é uma transformação linear.
Passo 6
(d)
Esta transformação mapeia para . Verificando o vetor zero:
E cada saída é uma combinação linear dos componentes de entrada. Portanto, esta é uma transformação linear.