Qual das transformações abaixo não é linear.
(a)
.
(b)
.
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para identificar qual das transformações listadas não é linear. Estamos lidando com transformações lineares, que fazem parte do tópico de Álgebra Linear. Para resolver isso, precisamos lembrar o que caracteriza uma transformação linear e verificar cada opção para ver qual não segue essas regras.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, as duas seguintes propriedades são verdadeiras:
- Adição:
- Homogeneidade:
Além disso, uma transformação linear sempre envia o vetor zero para o vetor zero, ou seja,
.
Passo 3
Vamos analisar cada opção:
(a)
Esta transformação mapeia
para
. Vamos verificar se
:
Isso satisfaz a condição. Além disso, podemos ver que cada componente é uma combinação linear de
e
, então esta é uma transformação linear.
Passo 4
(b)
Esta também mapeia
para
. Verificando o vetor zero:
Cada componente é uma combinação linear de
e
, então esta é uma transformação linear.
Passo 5
©
Aqui, a transformação mapeia
para
. Vamos verificar
:
Eba! O vetor zero foi mapeado para
em vez de
. Isso já quebra uma das condições para ser linear. Além disso, o segundo componente não depende de
nem de
, o que também indica que não é uma combinação linear adequada. Portanto, esta não é uma transformação linear.
Passo 6
(d)
Esta transformação mapeia
para
. Verificando o vetor zero:
E cada saída é uma combinação linear dos componentes de entrada. Portanto, esta é uma transformação linear.
Resposta
A transformação que não é linear é a opção ©
.