Qual das transformações abaixo não é linear.
(a) T(x, y)=(x-y, 3 x,-2 y).
(b) T(x, y)=(x+y, x-y, 0).
© T(x, y)=(x, 2)
(d) T(x, y)=x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para identificar qual das transformações listadas não é linear. Estamos lidando com transformações lineares, que fazem parte do tópico de Álgebra Linear. Para resolver isso, precisamos lembrar o que caracteriza uma transformação linear e verificar cada opção para ver qual não segue essas regras.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , as duas seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Homogeneidade:
Além disso, uma transformação linear sempre envia o vetor zero para o vetor zero, ou seja, .

Passo 3

Vamos analisar cada opção:
(a)
Esta transformação mapeia para . Vamos verificar se :
Isso satisfaz a condição. Além disso, podemos ver que cada componente é uma combinação linear de e , então esta é uma transformação linear.

Passo 4

(b)
Esta também mapeia para . Verificando o vetor zero:
Cada componente é uma combinação linear de e , então esta é uma transformação linear.

Passo 5

©
Aqui, a transformação mapeia para . Vamos verificar :
Eba! O vetor zero foi mapeado para em vez de . Isso já quebra uma das condições para ser linear. Além disso, o segundo componente não depende de nem de , o que também indica que não é uma combinação linear adequada. Portanto, esta não é uma transformação linear.

Passo 6

(d)
Esta transformação mapeia para . Verificando o vetor zero:
E cada saída é uma combinação linear dos componentes de entrada. Portanto, esta é uma transformação linear.

Resposta

A transformação que não é linear é a opção © .

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