Seja pi o plano dado pela equação x+2 y+4 z=0. Qual dos conjunto abaixo é base de pi ?
(a) (-2,1,0),(-4,0,1)
(b) (1,2,4)
© (1,2),(1,4)
(d) (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar qual dos conjuntos fornecidos é uma base para o plano pi, definido pela equação x + 2y + 4z = 0. O conteúdo envolvido aqui é álgebra linear, especificamente o conceito de base de um espaço vetorial. Para resolver, precisamos entender o que é uma base e como verificar se um conjunto de vetores satisfaz as condições necessárias para ser uma base do plano pi.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma base em álgebra linear. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso do plano pi, que é um espaço vetorial bidimensional, uma base deve conter exatamente dois vetores que não sejam múltiplos um do outro e que estejam no plano pi.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada opção para verificar se ela satisfaz as condições de ser uma base para pi.
Opção (a): (-2,1,0), (-4,0,1)
Primeiro, verificamos se ambos os vetores pertencem ao plano pi. Substituindo na equação do plano:
  • Para (-2,1,0): -2 + 2(1) + 4(0) = -2 + 2 + 0 = 0 ✔️
  • Para (-4,0,1): -4 + 2(0) + 4(1) = -4 + 0 + 4 = 0 ✔️
Ambos pertencem ao plano. Agora, verificamos se são linearmente independentes. Como nenhum dos vetores é múltiplo do outro, eles são linearmente independentes.
Opção (b): (1,2,4)
Este conjunto contém apenas um vetor, mas para uma base de um plano precisamos de dois vetores. ❌
Opção ©: (1,2), (1,4)
Os vetores têm apenas duas componentes, mas estamos trabalhando em ℝ³. Além disso, não há uma terceira componente para verificar se pertencem ao plano. ❌
Opção (d): (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)
Este conjunto contém três vetores, mas um plano em ℝ³ só necessita de dois vetores para formar uma base. ❌

Resposta

A opção (a) (-2,1,0), (-4,0,1) é uma base para o plano pi.

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