Seja
o plano dado pela equação
. Qual dos conjunto abaixo é base de
?
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar qual dos conjuntos fornecidos é uma base para o plano
, definido pela equação
. O conteúdo envolvido aqui é álgebra linear, especificamente o conceito de base de um espaço vetorial. Para resolver, precisamos entender o que é uma base e como verificar se um conjunto de vetores satisfaz as condições necessárias para ser uma base do plano
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma base em álgebra linear. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso do plano
, que é um espaço vetorial bidimensional, uma base deve conter exatamente dois vetores que não sejam múltiplos um do outro e que estejam no plano
.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada opção para verificar se ela satisfaz as condições de ser uma base para
.
Opção (a):
Primeiro, verificamos se ambos os vetores pertencem ao plano . Substituindo na equação do plano:
Primeiro, verificamos se ambos os vetores pertencem ao plano
- Para
: ✔️ - Para
: ✔️
Ambos pertencem ao plano. Agora, verificamos se são linearmente independentes. Como nenhum dos vetores é múltiplo do outro, eles são linearmente independentes.
Opção (b):
Este conjunto contém apenas um vetor, mas para uma base de um plano precisamos de dois vetores. ❌
Este conjunto contém apenas um vetor, mas para uma base de um plano precisamos de dois vetores. ❌
Opção ©:
Os vetores têm apenas duas componentes, mas estamos trabalhando em ℝ³. Além disso, não há uma terceira componente para verificar se pertencem ao plano. ❌
Os vetores têm apenas duas componentes, mas estamos trabalhando em ℝ³. Além disso, não há uma terceira componente para verificar se pertencem ao plano. ❌
Opção (d):
Este conjunto contém três vetores, mas um plano em ℝ³ só necessita de dois vetores para formar uma base. ❌
Este conjunto contém três vetores, mas um plano em ℝ³ só necessita de dois vetores para formar uma base. ❌
Resposta
A opção (a)
é uma base para o plano
.