Quais dos conjuntos abaixo são uma base? Justifique.
(b) (2,1,-1),(1,0,-1),(1,1,0) em R^3.

Passo 1

Então, o enunciado pede para verificar se o conjunto (2,1,-1),(1,0,-1),(1,1,0) em R^3 é uma base. Vamos precisar usar conceitos de linearidade e independência linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que para um conjunto de vetores ser uma base de R^3, ele deve ter exatamente 3 vetores (o que já está satisfeito) e esses vetores precisam ser linearmente independentes. Se forem independentes, eles “preenchem” todo o espaço R^3 sem redundâncias.

Passo 3

Para verificar a independência linear, montamos uma matriz com os vetores como colunas:
2 & 1 & 1 1 & 0 & 1 -1 & -1 & 0

Passo 4

Calculamos o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Vamos calcular o determinante:
det = 2 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot (-1)) - 1 cdot (1 cdot 0 - 1 cdot (-1)) + 1 cdot (1 cdot (-1) - 0 cdot (-1))
det = 2 cdot (0 + 1) - 1 cdot (0 + 1) + 1 cdot (-1 - 0)
det = 2 cdot 1 - 1 cdot 1 + 1 cdot (-1) = 2 - 1 - 1 = 0

Passo 6

O determinante deu zero, o que significa que os vetores não são linearmente independentes. Portanto, eles não formam uma base de R^3.

Resposta

O conjunto (2,1,-1),(1,0,-1),(1,1,0) não é uma base de R^3 porque os vetores são linearmente dependentes.

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