Os conjuntos abaixo são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.)? Justifique.
(i) S=(rr-1 & 1 0 & 0),(rr2 & 0 -1 & 0), V=M2(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se o conjunto , que contém duas matrizes , é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.) no espaço vetorial . Para isso, vamos precisar entender o que significa essas independências e como testar isso usando combinações lineares das matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa ser linearmente independente ou dependente. Um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor (ou matriz) zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Se existir uma combinação não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que dá a matriz zero, então o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Vamos chamar as matrizes do conjunto A = -1 & 1 0 & 0 , B = 2 & 0 -1 & 0 de c1 A + c2 B = 0 & 0 0 & 0 e , onde:
Queremos encontrar se existem escalares e (não ambos zero) tais que:

Passo 4

Vamos montar a equação acima elemento por elemento:
c1 -1 & 1 0 & 0 + c2 2 & 0 -1 & 0 = 0 & 0 0 & 0
Isso resulta nas seguintes equações:
  1. (posição (1,1))
  2. (posição (1,2))
  3. (posição (2,1))
  4. (posição (2,2))

Passo 5

Vamos resolver essas equações:
Da equação 2:
c1 = 0
Da equação 3:
- c2 = 0 Rightarrow c2 = 0

Passo 6

Vimos que a única solução possível é e . Isso significa que a única combinação linear que dá a matriz zero é quando ambos os coeficientes são zero.

Resposta

O conjunto é linearmente independente em .

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