Os conjuntos abaixo são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.)? Justifique.
(i)
.
(i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se o conjunto
, que contém duas matrizes
, é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.) no espaço vetorial
. Para isso, vamos precisar entender o que significa essas independências e como testar isso usando combinações lineares das matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa ser linearmente independente ou dependente. Um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor (ou matriz) zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Se existir uma combinação não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que dá a matriz zero, então o conjunto é linearmente dependente.
Passo 3
Vamos chamar as matrizes do conjunto
de
e
, onde:
Queremos encontrar se existem escalares
e
(não ambos zero) tais que:
Passo 4
Vamos montar a equação acima elemento por elemento:
Isso resulta nas seguintes equações:
-
(posição (1,1)) -
(posição (1,2)) -
(posição (2,1)) -
(posição (2,2))
Passo 5
Vamos resolver essas equações:
Da equação 2:
Da equação 3:
Passo 6
Vimos que a única solução possível é
e
. Isso significa que a única combinação linear que dá a matriz zero é quando ambos os coeficientes são zero.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente em
.