Verificar se o conjunto de todos os pares de números reais da forma ( x, y ) é um espaço vetorial com as operações definidas por:
  • adição: (x1, y1)+(x2, y2)=(x1 x2, y1 y2);
  • multiplicação por escalar: k(x, y)=(k x, k y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o conjunto de todos os pares de números reais forma um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por escalar que foram definidas. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente os axiomas que definem um espaço vetorial. Vamos ver direitinho cada passo para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de terem uma operação de adição, também permitem a multiplicação por um escalar (número real, no nosso caso) e que satisfazem uma série de regras chamadas axiomas. São eles:
  1. Comutatividade da Adição:
  2. Associatividade da Adição:
  3. Elemento Neutro da Adição: Existe um vetor tal que
  4. Elemento Oposto: Para todo vetor , existe tal que
  5. Distributividade da Escalar sobre a Adição de Vetores:
  6. Distributividade da Escalar sobre a Adição de Escalares:
  7. Associatividade da Escalar:
  8. Elemento Neutro da Escalar:
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas.

Passo 3

Vamos começar verificando o primeiro axioma: Comutatividade da Adição.
Segundo o enunciado, a adição é definida por:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 times x2, y1 times y2)
Para que a adição seja comutativa, deve valer que:
(x1 times x2, y1 times y2) = (x2 times x1, y2 times y1)
Como a multiplicação de números reais é comutativa ( e ), o primeiro axioma está satisfeito.

Passo 4

Agora, vamos avaliar o segundo axioma: Associatividade da Adição.
Precisamos que:
[(x1, y1) + (x2, y2)] + (x3, y3) = (x1, y1) + [(x2, y2) + (x3, y3)]
Aplicando a definição de adição:
[(x1 times x2, y1 times y2)] + (x3, y3) = (x1 times x2 times x3, y1 times y2 times y3)
E
(x1, y1) + [(x2 times x3, y2 times y3)] = (x1 times x2 times x3, y1 times y2 times y3)
Como os resultados são iguais, o segundo axioma também está ok.

Passo 5

Vamos verificar o terceiro axioma: Elemento Neutro da Adição.
Precisamos encontrar um vetor (x, y) + (ex, ey) = (x, y) tal que:
(x times ex, y times ey) = (x, y)
Aplicando a definição de adição:
x times ex = x e y times ey = y
Para isso, devemos ter:
ex = 1 e ey = 1
Isso implica que:
Portanto, o elemento neutro é . Mas, em espaços vetoriais, o elemento neutro deve ser o vetor . Aqui, temos um problema, já que . Isso já indica que não temos um espaço vetorial.

Passo 6

Mesmo assim, por completude, vamos tentar verificar o quarto axioma: Elemento Oposto.
Precisamos que, para todo (x, y) + (-x, -y) = (1, 1) , exista tal que:
Parece que o “zero” aqui é em vez de , o que não é o padrão esperado em espaços vetoriais. Isso confirma que as operações definidas não satisfazem os requisitos de um espaço vetorial.

Resposta

Não, o conjunto de todos os pares de números reais com as operações definidas não forma um espaço vetorial.

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