Escreva as equações paramétricas das seguintes circunferências e determine o centro e o raio de cada uma: x^22+y^22+2 x-3 y+6=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente escrever as equações paramétricas de uma circunferência e também encontrar o centro e o raio dela. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre circunferências, e precisamos saber como completar o quadrado para transformar a equação geral da circunferência na forma padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada de uma forma mais fácil de trabalhar:
x^22 + y^22 + 2x - 3y + 6 = 0
Podemos simplificar multiplicando todos os termos por 2 para eliminar os denominadores:
x^2 + y^2 + 4x - 6y + 12 = 0

Passo 3

Agora, vamos reorganizar os termos para agrupar os de x^2 + 4x + y^2 - 6y = -12 e os de :

Passo 4

Para transformar essa equação na forma padrão da circunferência , precisamos completar o quadrado para os termos de e .
Primeiro, para os termos de :
  • Pegamos o coeficiente de , que é 4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: .
  • Adicionamos e subtraímos esse valor na equação.
Para os termos de :
  • Pegamos o coeficiente de , que é -6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: .
  • Adicionamos e subtraímos esse valor na equação.

Passo 5

Aplicando o método de completar o quadrado:
x^2 + 4x + 4 - 4 + y^2 - 6y + 9 - 9 = -12
Isso simplifica para:
(x + 2)^2 - 4 + (y - 3)^2 - 9 = -12

Passo 6

Agora, somamos os termos constantes:
(x + 2)^2 + (y - 3)^2 - 13 = -12
Isolando os termos quadráticos:
(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 1

Passo 7

Comparando com a forma padrão , identificamos:
  • Centro :
  • Raio :

Passo 8

Agora, vamos escrever as equações paramétricas da circunferência. As equações paramétricas de uma circunferência com centro x = h + r cos(theta) e raio y = k + r sin(theta) são:
x = -2 + cos(theta)
y = 3 + sin(theta)
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

As equações paramétricas da circunferência são:
x = -2 + cos(theta)
y = 3 + sin(theta)
O centro da circunferência é e o raio é .

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