Escreva as equações paramétricas das seguintes circunferências e determine o centro e o raio de cada uma:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente escrever as equações paramétricas de uma circunferência e também encontrar o centro e o raio dela. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre circunferências, e precisamos saber como completar o quadrado para transformar a equação geral da circunferência na forma padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada de uma forma mais fácil de trabalhar:
Podemos simplificar multiplicando todos os termos por 2 para eliminar os denominadores:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar os termos para agrupar os de
e os de
:
Passo 4
Para transformar essa equação na forma padrão da circunferência
, precisamos completar o quadrado para os termos de
e
.
Primeiro, para os termos de
:
- Pegamos o coeficiente de
, que é 4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: . - Adicionamos e subtraímos esse valor na equação.
Para os termos de
:
- Pegamos o coeficiente de
, que é -6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: . - Adicionamos e subtraímos esse valor na equação.
Passo 5
Aplicando o método de completar o quadrado:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, somamos os termos constantes:
Isolando os termos quadráticos:
Passo 7
Comparando com a forma padrão
, identificamos:
- Centro
: - Raio
:
Passo 8
Agora, vamos escrever as equações paramétricas da circunferência. As equações paramétricas de uma circunferência com centro
e raio
são:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
As equações paramétricas da circunferência são:
O centro da circunferência é
e o raio é
.