Quais dos conjuntos abaixo são uma base? Justifique.
(f) 1,2-t, 3-t^2, t+2 t^2 em P2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se o conjunto 1,,2 - t,,3 - t^2,,t + 2 t^2 é uma base para o espaço P2, que são os polinômios de grau no máximo 2. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base, verificar se os elementos do conjunto são suficientes e se são “independentes” entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço. No caso de P2, sabemos que a dimensão desse espaço é 3, ou seja, precisamos de 3 elementos para formar uma base.

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto dado: 1,,2 - t,,3 - t^2,,t + 2 t^2. Ele tem 4 elementos, o que já é um sinal de que pode haver um problema, já que queremos apenas 3 elementos para uma base em um espaço de dimensão 3.

Passo 4

Para verificar se esses 4 elementos são linearmente independentes, consideramos uma combinação linear igual a zero:
a cdot 1 + b cdot (2 - t) + c cdot (3 - t^2) + d cdot (t + 2 t^2) = 0
Isso nos leva a um sistema de equações que, no caso de ter mais variáveis que equações, geralmente tem soluções não triviais (ou seja, além de todas as constantes serem zero).

Passo 5

Como temos 4 elementos em um espaço de dimensão 3, necessariamente pelo Teorema da Dimensão, o conjunto é linearmente dependente. Isso significa que pelo menos um dos elementos pode ser escrito como combinação linear dos outros, o que impede que o conjunto seja uma base.

Resposta

Não, o conjunto 1,,2 - t,,3 - t^2,,t + 2 t^2 não é uma base para P2, pois contém mais elementos do que a dimensão do espaço, tornando-o linearmente dependente.

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