Os conjuntos abaixo são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.)? Justifique.
© * S=(2,-1,0),(-1,3,0),(3,5,0), V=R^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para saber se o conjunto de vetores é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.) no espaço . Para isso, vamos precisar entender o que significa ser L.I. ou L.D. e usar conceitos de combinação linear e matrizes para verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa os vetores serem linearmente independentes. Um conjunto de vetores é L.I. se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Se existir uma combinação linear não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulte no vetor zero, então os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Vamos organizar os vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna:
A = 2 & -1 & 3 -1 & 3 & 5 0 & 0 & 0

Passo 4

Para verificar a independência linear, podemos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são L.I.; se for zero, são L.D.

Passo 5

Calculando o determinante de det(A) = 2 cdot 3 & 5 0 & 0 - (-1) cdot -1 & 5 0 & 0 + 3 cdot -1 & 3 0 & 0 :
det(A) = 2 cdot 0 - (-1) cdot 0 + 3 cdot 0 = 0
Observe que todas as submatrizes têm uma linha de zeros, então seus determinantes são zero:

Passo 6

Como o determinante de é zero, isso indica que os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores do conjunto são linearmente dependentes no espaço .

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