Determinar uma base e a dimensão do conjunto formado pelas soluções dos seguintes sistemas homogêneos:
lx-y+z=0 2 x-z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar uma base e a dimensão do conjunto de soluções de um sistema homogêneo de equações lineares. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde a gente trabalha com sistemas de equações, matrizes e vetores. Pra resolver, vamos precisar montar o sistema, resolver usando métodos como substituição ou redução e depois identificar a base e a dimensão desse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema que a gente tem aqui:
x - y + z = 0 2x - z = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema. Vamos começar pela segunda equação para achar 2x - z = 0 Rightarrow z = 2x em termos de :

Passo 4

Com x - y + (2x) = 0 Rightarrow 3x - y = 0 Rightarrow y = 3x , substituímos esse valor na primeira equação:

Passo 5

Agora, podemos expressar todas as variáveis em termos de x = t y = 3t z = 2t . Vamos usar como parâmetro, que chamaremos de :

Passo 6

Escrevendo isso em forma de vetor, temos:
x y z = t 1 3 2

Passo 7

Isso mostra que todas as soluções são múltiplos do vetor 1 3 2 . Então, a base do conjunto de soluções é esse vetor, e a dimensão é 1 porque só temos um vetor na base.

Resposta

A base do conjunto de soluções é 1 3 2 e a dimensão é 1.

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