Sejam e subespaços de . Mostre que .

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois subespaços de :
  • gerado pelo vetor ,
  • gerado pelos vetores e .
O objetivo é mostrar que todo vetor de pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de e um vetor de . Isso significa que é a soma direta desses subespaços, denotado por .
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de soma direta de subespaços e de como verificar se a soma é direta, ou seja, se a interseção dos subespaços é apenas o vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que . Isso quer dizer que qualquer vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de .
Sabemos que é formado por todos os múltiplos do vetor , ou seja, .
é formado por todas as combinações lineares dos vetores e , portanto:
Vamos ver se conseguimos escrever um vetor qualquer como:

Passo 3

Vamos expandir a equação:
Isso nos dá o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar , e em termos de , e .

Passo 4

A partir da terceira equação, já sabemos que:
Substituímos na segunda equação:
Agora, substituímos na primeira equação:

Passo 5

Encontramos que:
Isso significa que temos valores de , e que satisfazem o sistema para qualquer em . Portanto, .

Passo 6

Para garantir que a soma seja direta, precisamos verificar se a interseção de e contém apenas o vetor zero. Ou seja, se .
Vamos supor que exista um vetor que pertence a ambos os subespaços:
Expandindo:
Igualando as componentes:
Da terceira equação, temos . Substituindo na segunda equação:
E da primeira equação:
Portanto, o único vetor que está em ambos os subespaços é o vetor zero. Isso confirma que a soma é direta.

Resposta

Assim, concluímos que .

Exercícios relacionados

Os conjuntos abaixo são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.)? Justifique.
(h) .
Quais dos conjuntos abaixo são uma base? Justifique.
(f) em .
Seja um conjunto L.I. em . Verifique se os conjuntos abaixo são L.I. ou L.D. justificando sua resposta.
© .
Obter uma base para que contenha os vetores:
e