Sejam W1=[(1,0,0)] e W2=[(1,1,0),(0,1,1)] subespaços de R^3. Mostre que R^3= W1 oplus W2.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois subespaços de :
  • gerado pelo vetor ,
  • gerado pelos vetores e .
O objetivo é mostrar que todo vetor de pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de e um vetor de . Isso significa que é a soma direta desses subespaços, denotado por .
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de soma direta de subespaços e de como verificar se a soma é direta, ou seja, se a interseção dos subespaços é apenas o vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que W2 = s(1, 1, 0) + t(0, 1, 1) | s, t in R . Isso quer dizer que qualquer vetor (a, b, c) = k(1, 0, 0) + s(1, 1, 0) + t(0, 1, 1) em pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de .
Sabemos que é formado por todos os múltiplos do vetor , ou seja, .
é formado por todas as combinações lineares dos vetores e , portanto:
Vamos ver se conseguimos escrever um vetor qualquer como:

Passo 3

Vamos expandir a equação:
(a, b, c) = (k, 0, 0) + (s, s, 0) + (0, t, t) = (k + s, s + t, t)
Isso nos dá o sistema de equações:
k + s = a s + t = b t = c
Vamos resolver esse sistema para encontrar , e em termos de , e .

Passo 4

A partir da terceira equação, já sabemos que:
t = c
Substituímos s + c = b implies s = b - c na segunda equação:
k + (b - c) = a implies k = a - b + c
Agora, substituímos na primeira equação:

Passo 5

Encontramos que:
k = a - b + c s = b - c t = c
Isso significa que temos valores de , e que satisfazem o sistema para qualquer em . Portanto, .

Passo 6

Para garantir que a soma seja direta, precisamos verificar se a interseção de k(1, 0, 0) = s(1, 1, 0) + t(0, 1, 1) e (k, 0, 0) = (s, s, 0) + (0, t, t) = (s, s + t, t) contém apenas o vetor zero. Ou seja, se s = k s + t = 0 t = 0 .
Vamos supor que exista um vetor que pertence a ambos os subespaços:
s + 0 = 0 implies s = 0
Expandindo:
0 = k implies k = 0
Igualando as componentes:
Da terceira equação, temos . Substituindo na segunda equação:
E da primeira equação:
Portanto, o único vetor que está em ambos os subespaços é o vetor zero. Isso confirma que a soma é direta.

Resposta

Assim, concluímos que .

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