Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois subespaços de :
gerado pelo vetor ,
gerado pelos vetores e .
O objetivo é mostrar que todo vetor de pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de e um vetor de . Isso significa que é a soma direta desses subespaços, denotado por .
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de soma direta de subespaços e de como verificar se a soma é direta, ou seja, se a interseção dos subespaços é apenas o vetor zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que . Isso quer dizer que qualquer vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de .
Sabemos que é formado por todos os múltiplos do vetor , ou seja, .
Já é formado por todas as combinações lineares dos vetores e , portanto:
Vamos ver se conseguimos escrever um vetor qualquer como:
Passo 3
Vamos expandir a equação:
Isso nos dá o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar , e em termos de , e .
Passo 4
A partir da terceira equação, já sabemos que:
t = c
Substituímos s + c = b implies s = b - c na segunda equação:
k + (b - c) = a implies k = a - b + c
Agora, substituímos na primeira equação:
Passo 5
Encontramos que:
k = a - b + c s = b - c t = c
Isso significa que temos valores de , e que satisfazem o sistema para qualquer em . Portanto, .
Passo 6
Para garantir que a soma seja direta, precisamos verificar se a interseção de k(1, 0, 0) = s(1, 1, 0) + t(0, 1, 1) e (k, 0, 0) = (s, s, 0) + (0, t, t) = (s, s + t, t) contém apenas o vetor zero. Ou seja, se s = k s + t = 0 t = 0 .
Vamos supor que exista um vetor que pertence a ambos os subespaços:
s + 0 = 0 implies s = 0
Expandindo:
0 = k implies k = 0
Igualando as componentes:
Da terceira equação, temos . Substituindo na segunda equação:
E da primeira equação:
Portanto, o único vetor que está em ambos os subespaços é o vetor zero. Isso confirma que a soma é direta.