Os conjuntos abaixo são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.)? Justifique.
(h) * S=1+x+x^2, 2+5 x-9 x^2, V=P3(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.) no espaço , que é o conjunto de polinômios de grau até 3 com coeficientes reais. Para resolver isso, precisamos entender o que significa linearidade e como testar a independência de vetores (neste caso, polinômios).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que um conjunto de vetores (ou polinômios) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se não conseguimos escrever um polinômio como múltiplo do outro usando coeficientes diferentes de zero, eles são independentes.

Passo 3

Vamos supor que exista uma combinação linear dos polinômios em a(1 + x + x^2) + b(2 + 5x - 9x^2) = 0 que resulte no polinômio zero:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e que satisfazem essa igualdade.

Passo 4

Expandindo a equação:
a + a x + a x^2 + 2b + 5b x - 9b x^2 = 0
Agrupando os termos semelhantes:
(a + 2b) + (a + 5b)x + (a - 9b)x^2 = 0
Para que essa igualdade valha para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero.

Passo 5

Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a + 2b = 0 a + 5b = 0 a - 9b = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 6

Primeiro, da primeira equação: -2b + 5b = 0 Rightarrow 3b = 0 Rightarrow b = 0 .
Substituindo na segunda equação:
Então, .

Passo 7

Como a única solução é e , isso significa que não existe combinação não trivial (com e diferentes de zero) que dá o polinômio zero. Portanto, os polinômios do conjunto são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto é linearmente independente em .

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