Os conjuntos abaixo são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.)? Justifique. (h) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.) no espaço , que é o conjunto de polinômios de grau até 3 com coeficientes reais. Para resolver isso, precisamos entender o que significa linearidade e como testar a independência de vetores (neste caso, polinômios).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que um conjunto de vetores (ou polinômios) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se não conseguimos escrever um polinômio como múltiplo do outro usando coeficientes diferentes de zero, eles são independentes.

Passo 3

Vamos supor que exista uma combinação linear dos polinômios em que resulte no polinômio zero: Nosso objetivo é encontrar os valores de e que satisfazem essa igualdade.

Passo 4

Expandindo a equação: Agrupando os termos semelhantes: Para que essa igualdade valha para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero.

Passo 5

Isso nos dá o seguinte sistema de equações: Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 6

Primeiro, da primeira equação: . Substituindo na segunda equação: Então, .

Passo 7

Como a única solução é e , isso significa que não existe combinação não trivial (com e diferentes de zero) que dá o polinômio zero. Portanto, os polinômios do conjunto são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto é linearmente independente em .

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