Os conjuntos abaixo são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.)? Justifique.
(h) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.) no espaço , que é o conjunto de polinômios de grau até 3 com coeficientes reais. Para resolver isso, precisamos entender o que significa linearidade e como testar a independência de vetores (neste caso, polinômios).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que um conjunto de vetores (ou polinômios) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se não conseguimos escrever um polinômio como múltiplo do outro usando coeficientes diferentes de zero, eles são independentes.
Passo 3
Vamos supor que exista uma combinação linear dos polinômios em que resulte no polinômio zero:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e que satisfazem essa igualdade.
Passo 4
Expandindo a equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Para que essa igualdade valha para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero.
Passo 5
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .
Passo 6
Primeiro, da primeira equação: .
Substituindo na segunda equação:
Então, .
Passo 7
Como a única solução é e , isso significa que não existe combinação não trivial (com e diferentes de zero) que dá o polinômio zero. Portanto, os polinômios do conjunto são linearmente independentes.