Quais dos conjuntos abaixo são uma base? Justifique.
(d) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se um conjunto de quatro matrizes 2x2 forma uma base no espaço das matrizes 2x2, chamado de . Para que um conjunto seja uma base, ele precisa ser linearmente independente e gerar todo o espaço. Como tem dimensão 4 (já que cada matriz 2x2 tem 4 elementos), se conseguimos mostrar que as quatro matrizes são linearmente independentes, já garantimos que elas formam uma base. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear e determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é linearmente independente. Um conjunto de vetores (ou matrizes, nesse caso) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta na matriz zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se tivermos:
Então, para o conjunto ser linearmente independente, a única solução é .

Passo 3

Para facilitar a verificação da independência linear, vamos transformar cada matriz em um vetor. Vamos “achatar” cada matriz 2x2 em um vetor de 4 elementos, seguindo a ordem das colunas. Por exemplo, para a matriz:
O vetor correspondente será . Vamos fazer isso para todas as matrizes do conjunto:

Passo 4

Agora, vamos montar uma matriz 4x4 onde cada coluna é um desses vetores:
Para verificar a independência linear, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, as colunas são linearmente independentes.

Passo 5

Vamos calcular o determinante passo a passo. Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores, mas aqui vamos usar a expansão pela primeira linha:
Mas para simplificar, calculando diretamente o determinante dessa matriz 4x4, encontramos que:

Resposta

Como o determinante da matriz formada pelas colunas é diferente de zero, as quatro matrizes são linearmente independentes. Portanto, o conjunto dado forma uma base em .

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Determinar uma base e a dimensão dos seguintes subespaços do :
Todos os vetores da forma em que e .
  • Encontre condições sobre e de modo que o vetor seja combinação linear de e .
Os conjuntos abaixo são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.)? Justifique.
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