Quais dos conjuntos abaixo são uma base? Justifique.
(d) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se um conjunto de quatro matrizes 2x2 forma uma base no espaço das matrizes 2x2, chamado de . Para que um conjunto seja uma base, ele precisa ser linearmente independente e gerar todo o espaço. Como tem dimensão 4 (já que cada matriz 2x2 tem 4 elementos), se conseguimos mostrar que as quatro matrizes são linearmente independentes, já garantimos que elas formam uma base. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear e determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é linearmente independente. Um conjunto de vetores (ou matrizes, nesse caso) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta na matriz zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se tivermos:
Então, para o conjunto ser linearmente independente, a única solução é .
Passo 3
Para facilitar a verificação da independência linear, vamos transformar cada matriz em um vetor. Vamos “achatar” cada matriz 2x2 em um vetor de 4 elementos, seguindo a ordem das colunas. Por exemplo, para a matriz:
O vetor correspondente será . Vamos fazer isso para todas as matrizes do conjunto:
Passo 4
Agora, vamos montar uma matriz 4x4 onde cada coluna é um desses vetores:
Para verificar a independência linear, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, as colunas são linearmente independentes.
Passo 5
Vamos calcular o determinante passo a passo. Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores, mas aqui vamos usar a expansão pela primeira linha:
Mas para simplificar, calculando diretamente o determinante dessa matriz 4x4, encontramos que:
Resposta
Como o determinante da matriz formada pelas colunas é diferente de zero, as quatro matrizes são linearmente independentes. Portanto, o conjunto dado forma uma base em .