Encontre condições sobre e de modo que o vetor seja combinação linear de e .
Passo 1
Vamos resolver um problema onde queremos encontrar condições para os números de modo que o vetor seja uma combinação linear dos vetores e . Para isso, vamos precisar entender o que é uma combinação linear e como aplicar isso para encontrar as condições desejadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Uma combinação linear de dois vetores e é qualquer vetor que pode ser escrito como , onde e são números reais (escalars). Isso significa que podemos ajustar e para obter diferentes vetores a partir de e .
Passo 3
Aplicando a definição de combinação linear ao nosso problema, temos:
Substituindo os vetores e pelos seus valores:
Passo 4
Agora, vamos distribuir os escalares e nos vetores:
O que resulta em três equaç��es:
Passo 5
Nosso objetivo é encontrar condições para de modo que esse sistema de equações tenha pelo menos uma solução para e . Para isso, vamos resolver o sistema.
Primeiro, vamos resolver a terceira equação para :
Passo 6
Agora, substituímos na primeira equação:
Resolvendo para :
Passo 7
Com encontrado, substituímos na expressão de :
Passo 8
Agora, substituímos e na segunda equação para verificar as condições:
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar o denominador:
Rearranjando:
Resposta
As condições para que o vetor seja uma combinação linear de e são dadas pela equação:
Ou seja, para quaisquer valores de que satisfaçam , o vetor será uma combinação linear de e .