• Encontre condições sobre e de modo que o vetor seja combinação linear de e .

Passo 1

Vamos resolver um problema onde queremos encontrar condições para os números de modo que o vetor seja uma combinação linear dos vetores e . Para isso, vamos precisar entender o que é uma combinação linear e como aplicar isso para encontrar as condições desejadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Uma combinação linear de dois vetores e é qualquer vetor que pode ser escrito como , onde e são números reais (escalars). Isso significa que podemos ajustar e para obter diferentes vetores a partir de e .

Passo 3

Aplicando a definição de combinação linear ao nosso problema, temos:
Substituindo os vetores e pelos seus valores:

Passo 4

Agora, vamos distribuir os escalares e nos vetores:
O que resulta em três equaç��es:

Passo 5

Nosso objetivo é encontrar condições para de modo que esse sistema de equações tenha pelo menos uma solução para e . Para isso, vamos resolver o sistema.
Primeiro, vamos resolver a terceira equação para :

Passo 6

Agora, substituímos na primeira equação:
Resolvendo para :

Passo 7

Com encontrado, substituímos na expressão de :

Passo 8

Agora, substituímos e na segunda equação para verificar as condições:
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar o denominador:
Rearranjando:

Resposta

As condições para que o vetor seja uma combinação linear de e são dadas pela equação:
Ou seja, para quaisquer valores de que satisfaçam , o vetor será uma combinação linear de e .

Exercícios relacionados

Quais dos conjuntos abaixo são linearmente indepentes (LI)? Justifique.
(e) em .
Determine se o terno ordenado dado é uma solução do sistema linear
(b)
Determinar uma base e a dimensão dos seguintes subespaços do :
Todos os vetores da forma em que e .
Quais dos conjuntos abaixo são uma base? Justifique.
(d) .