• Encontre condições sobre a, b e c de modo que o vetor w=(a, b, c) seja combinação linear de u=(1,-3,2) e w=(2,-1,1).

Passo 1

Vamos resolver um problema onde queremos encontrar condições para os números de modo que o vetor seja uma combinação linear dos vetores e . Para isso, vamos precisar entender o que é uma combinação linear e como aplicar isso para encontrar as condições desejadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Uma combinação linear de dois vetores e é qualquer vetor que pode ser escrito como , onde e são números reais (escalars). Isso significa que podemos ajustar e para obter diferentes vetores a partir de e .

Passo 3

Aplicando a definição de combinação linear ao nosso problema, temos:
w = s cdot u + t cdot v
Substituindo os vetores (a, b, c) = s cdot (1, -3, 2) + t cdot (2, -1, 1) e pelos seus valores:

Passo 4

Agora, vamos distribuir os escalares (a, b, c) = (s cdot 1 + t cdot 2, s cdot (-3) + t cdot (-1), s cdot 2 + t cdot 1) e a = s + 2t b = -3s - t c = 2s + t nos vetores:
O que resulta em três equaç��es:

Passo 5

Nosso objetivo é encontrar condições para c = 2s + t implies t = c - 2s de modo que esse sistema de equações tenha pelo menos uma solução para e . Para isso, vamos resolver o sistema.
Primeiro, vamos resolver a terceira equação para :

Passo 6

Agora, substituímos a = s + 2(c - 2s) = s + 2c - 4s = -3s + 2c na primeira equação:
-3s = a - 2c implies s = 2c - a3
Resolvendo para :

Passo 7

Com t = c - 2(2c - a3) = c - 4c - 2a3 = 3c - 4c + 2a3 = 2a - c3 encontrado, substituímos na expressão de :

Passo 8

Agora, substituímos b = -3(2c - a3) - (2a - c3) = -(2c - a) - 2a - c3 e 3b = -3(2c - a) - (2a - c) = -6c + 3a - 2a + c = -5c + a na segunda equação para verificar as condições:
a - 5c = 3b
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar o denominador:
Rearranjando:

Resposta

As condições para que o vetor a - 5c = 3b seja uma combinação linear de e são dadas pela equação:
Ou seja, para quaisquer valores de que satisfaçam , o vetor será uma combinação linear de e .

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