Determinar uma base e a dimensão dos seguintes subespaços do
:
Todos os vetores da forma
em que
e
.
Todos os vetores da forma
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que encontrar uma base e a dimensão de um subespaço do
. Esse subespaço é formado por todos os vetores
que satisfazem as equações
e
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como parametrização de vetores e identificação de bases.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as restrições que essas equações nos dão. A equação
significa que
. Da mesma forma,
implica que
. Então, qualquer vetor
nesse subespaço pode ser escrito em função de
e
.
Passo 3
Agora, vamos expressar o vetor
usando as igualdades que encontramos:
Isso mostra que os componentes
e
dependem dos valores de
e
, respectivamente.
Passo 4
Vamos separar isso em uma combinação linear. Podemos escrever o vetor como:
Aqui,
e
são vetores que, quando escalados por
e
, formam todos os vetores do nosso subespaço.
Passo 5
Esses dois vetores são linearmente independentes, ou seja, nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro. Portanto, eles formam uma base para o subespaço. Como temos dois vetores na base, a dimensão do subespaço é 2.
Resposta
Uma base é
e a dimensão do subespaço é
.
Exercícios relacionados
- Encontre condições sobre
e de modo que o vetor seja combinação linear de e .
Quais dos conjuntos abaixo são linearmente indepentes (LI)? Justifique.
(e) em
.
(e)
Quais dos conjuntos abaixo são uma base? Justifique.
(d) .
(d)
Os conjuntos abaixo são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.)? Justifique.
© .
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