Determinar uma base e a dimensão dos seguintes subespaços do R^4 :
Todos os vetores da forma (x, y, z, t) em que x-2 y=0 e z-3 t=0.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que encontrar uma base e a dimensão de um subespaço do R^4. Esse subespaço é formado por todos os vetores (x, y, z, t) que satisfazem as equações x - 2y = 0 e z - 3t = 0. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como parametrização de vetores e identificação de bases.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as restrições que essas equações nos dão. A equação x - 2y = 0 significa que x = 2y. Da mesma forma, z - 3t = 0 implica que z = 3t. Então, qualquer vetor (x, y, z, t) nesse subespaço pode ser escrito em função de y e t.

Passo 3

Agora, vamos expressar o vetor (x, y, z, t) usando as igualdades que encontramos:
(x, y, z, t) = (2y, y, 3t, t)
Isso mostra que os componentes x e z dependem dos valores de y e t, respectivamente.

Passo 4

Vamos separar isso em uma combinação linear. Podemos escrever o vetor como:
(2y, y, 3t, t) = y cdot (2, 1, 0, 0) + t cdot (0, 0, 3, 1)
Aqui, (2, 1, 0, 0) e (0, 0, 3, 1) são vetores que, quando escalados por y e t, formam todos os vetores do nosso subespaço.

Passo 5

Esses dois vetores são linearmente independentes, ou seja, nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro. Portanto, eles formam uma base para o subespaço. Como temos dois vetores na base, a dimensão do subespaço é 2.

Resposta

Uma base é , (2, 1, 0, 0), (0, 0, 3, 1) , e a dimensão do subespaço é 2.

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