Determinar uma base e a dimensão dos seguintes subespaços do :
Todos os vetores da forma em que e .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que encontrar uma base e a dimensão de um subespaço do . Esse subespaço é formado por todos os vetores que satisfazem as equações e . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como parametrização de vetores e identificação de bases.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as restrições que essas equações nos dão. A equação significa que . Da mesma forma, implica que . Então, qualquer vetor nesse subespaço pode ser escrito em função de e .

Passo 3

Agora, vamos expressar o vetor usando as igualdades que encontramos:
Isso mostra que os componentes e dependem dos valores de e , respectivamente.

Passo 4

Vamos separar isso em uma combinação linear. Podemos escrever o vetor como:
Aqui, e são vetores que, quando escalados por e , formam todos os vetores do nosso subespaço.

Passo 5

Esses dois vetores são linearmente independentes, ou seja, nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro. Portanto, eles formam uma base para o subespaço. Como temos dois vetores na base, a dimensão do subespaço é 2.

Resposta

Uma base é e a dimensão do subespaço é .

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  • Encontre condições sobre e de modo que o vetor seja combinação linear de e .
Quais dos conjuntos abaixo são linearmente indepentes (LI)? Justifique.
(e) em .
Quais dos conjuntos abaixo são uma base? Justifique.
(d) .
Os conjuntos abaixo são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.)? Justifique.
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