Quais dos conjuntos abaixo são uma base? Justifique.
(a) em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você pediu para verificar se o conjunto de vetores em é uma base. Isso envolve entender conceitos de bases, independência linear e dimensão no contexto da álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, o que é uma base? Em , uma base é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço. Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como combinação linear desses três vetores.
Passo 3
Para verificar se nosso conjunto de vetores é uma base, precisamos confirmar duas coisas:
Número de vetores: Precisamos de exatamente três vetores em , o que já temos.
Independência Linear: Nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Passo 4
Vamos verificar a independência linear. Suponha que um dos vetores possa ser escrito como combinação dos outros dois. Vamos ver se isso acontece com .
Assumimos que:
Onde e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 5
Resolvendo as equações:
Da segunda equação, temos 1 = a + 1 Rightarrow a = 0 .
Substituindo 4 = 2 cdot 0 + 2 cdot 1 Rightarrow 4 = 2 na primeira equação:
Agora, substituindo e na terceira equação:
Aqui, vemos uma contradição: .
Passo 6
A contradição indica que não existe e que satisfaçam todas as equações simultaneamente. Portanto, não pode ser escrito como uma combinação linear de e .
Passo 7
Como não conseguimos expressar como combinação dos outros vetores, cada vetor no conjunto é necessário para gerar e eles são linearmente independentes.