Quais dos conjuntos abaixo são uma base? Justifique.
(a) (1,0,2),(1,1,2),(1,1,4) em R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para verificar se o conjunto de vetores em é uma base. Isso envolve entender conceitos de bases, independência linear e dimensão no contexto da álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, o que é uma base? Em , uma base é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço. Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como combinação linear desses três vetores.

Passo 3

Para verificar se nosso conjunto de vetores é uma base, precisamos confirmar duas coisas:
  1. Número de vetores: Precisamos de exatamente três vetores em , o que já temos.
  2. Independência Linear: Nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Passo 4

Vamos verificar a independência linear. Suponha que um dos vetores possa ser escrito como combinação dos outros dois. Vamos ver se isso acontece com (1,1,4) = a cdot (1,0,2) + b cdot (1,1,2) .
Assumimos que:
Onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 5

Resolvendo as equações:
1 = a + b 1 = 0 cdot a + b 4 = 2a + 2b
Da segunda equação, temos 1 = a + 1 Rightarrow a = 0 .
Substituindo 4 = 2 cdot 0 + 2 cdot 1 Rightarrow 4 = 2 na primeira equação:
Agora, substituindo e na terceira equação:
Aqui, vemos uma contradição: .

Passo 6

A contradição indica que não existe e que satisfaçam todas as equações simultaneamente. Portanto, não pode ser escrito como uma combinação linear de e .

Passo 7

Como não conseguimos expressar como combinação dos outros vetores, cada vetor no conjunto é necessário para gerar e eles são linearmente independentes.

Resposta

Sim, o conjunto é uma base em .

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