Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são subespaço de R^3 ? Justifique.
(d) W=(x, y, z) mid z=2 x-y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se o conjunto é um subespaço de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se satisfaz todas as condições necessárias para ser um.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de é um subespaço se ele satisfaz três propriedades principais:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero precisa estar em .
  2. Fechado para adição: Se você pegar dois vetores quaisquer em e somar, o resultado também precisa estar em .
  3. Fechado para multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor em e multiplicar por qualquer número real, o resultado também precisa estar em .

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: se o vetor zero está em z = 2(0) - 0 = 0 . Substituindo e na equação , temos:
Então, o vetor está em . Essa primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos ver se z1 = 2x1 - y1 e z2 = 2x2 - y2 é fechado para adição. Seja u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e z1 + z2 = (2x1 - y1) + (2x2 - y2) = 2(x1 + x2) - (y1 + y2) dois vetores em zsoma = 2(xsoma) - ysoma . Isso significa que:
Vamos somar e :
Substituindo as expressões de e :
Isso mostra que:
Portanto, também satisfaz a equação de , ou seja, está em . Assim, a segunda condição também está satisfeita.

Passo 5

Por fim, vamos verificar a terceira condição: a multiplicação por um escalar. Seja z = 2x - y um vetor em cu = (cx, cy, cz) e cz = c(2x - y) = 2(cx) - (cy) um número real qualquer. Então:
z' = 2(cx) - (cy)
Multiplicando cz = 2(cx) - cy por :
Substituindo pela expressão de :
Então:
Isso mostra que:
Portanto, também satisfaz a equação de , ou seja, está em . Assim, a terceira condição está satisfeita.

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço de , pois contém o vetor zero, é fechado para adição e para multiplicação por escalar.

Exercícios relacionados