Quais dos seguintes conjuntos
abaixo são subespaço de
? Justifique.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se o conjunto
é um subespaço de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se
satisfaz todas as condições necessárias para ser um.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de
é um subespaço se ele satisfaz três propriedades principais:
- Contém o vetor zero: O vetor zero
precisa estar em . - Fechado para adição: Se você pegar dois vetores quaisquer em
e somar, o resultado também precisa estar em . - Fechado para multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor em
e multiplicar por qualquer número real, o resultado também precisa estar em .
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: se o vetor zero está em
. Substituindo
e
na equação
, temos:
Então, o vetor
está em
. Essa primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos ver se
é fechado para adição. Seja
e
dois vetores em
. Isso significa que:
Vamos somar
e
:
Substituindo as expressões de
e
:
Isso mostra que:
Portanto,
também satisfaz a equação de
, ou seja, está em
. Assim, a segunda condição também está satisfeita.
Passo 5
Por fim, vamos verificar a terceira condição: a multiplicação por um escalar. Seja
um vetor em
e
um número real qualquer. Então:
Multiplicando
por
:
Substituindo
pela expressão de
:
Então:
Isso mostra que:
Portanto,
também satisfaz a equação de
, ou seja, está em
. Assim, a terceira condição está satisfeita.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço de
, pois contém o vetor zero, é fechado para adição e para multiplicação por escalar.