Verificar se os seguintes conjuntos, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, são espaços vetoriais:
V=[lla & 1 1 & b] / a, b in R

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para verificarmos se um conjunto específico de matrizes é um espaço vetorial. Para isso, precisamos lembrar que um espaço vetorial deve satisfazer certas propriedades, como conter o vetor zero, ser fechado sob adição e multiplicação por escalar, entre outras. Neste caso, nosso conjunto V = a & 1 1 & b , | , a, b in R é formado por matrizes do tipo:

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em 0 & 0 0 & 0 . O vetor zero no espaço das matrizes é a matriz:
Para que o vetor zero esteja em , deve existir valores de e que tornem a matriz igual a essa. Observando a definição de , vemos que as entradas fora da diagonal são sempre . Portanto, não conseguimos obter uma matriz com todos os zeros substituindo e . Isso já nos indica que não contém o vetor zero.

Passo 3

Mesmo já sabendo que o vetor zero não está em A = a & 1 1 & b , B = c & 1 1 & d , vamos verificar outra propriedade: se A + B = a + c & 2 2 & b + d é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos duas matrizes quaisquer de e as somarmos, o resultado também deve estar em .
Seja:
A soma é:
Para que esteja em , as entradas fora da diagonal devem ser . Mas aqui temos nessas posições, o que não corresponde à definição de . Logo, não é fechado sob adição.

Passo 4

Por fim, vamos verificar se A = a & 1 1 & b , k in R é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, se multiplicarmos qualquer matriz de kA = ka & k k & kb por um número real , o resultado também deve estar em .
Pegando uma matriz de :
A multiplicação por escalar é:
Para que esteja em , as entradas fora da diagonal devem ser . Mas a menos que , essas entradas serão diferentes de . Portanto, não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Não, o conjunto não é um espaço vetorial, pois não contém o vetor zero, nem é fechado sob adição e multiplicação por escalar.

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