Verificar se os seguintes conjuntos, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, são espaços vetoriais:
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para verificarmos se um conjunto específico de matrizes é um espaço vetorial. Para isso, precisamos lembrar que um espaço vetorial deve satisfazer certas propriedades, como conter o vetor zero, ser fechado sob adição e multiplicação por escalar, entre outras. Neste caso, nosso conjunto
é formado por matrizes do tipo:
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero no espaço das matrizes
é a matriz:
Para que o vetor zero esteja em
, deve existir valores de
e
que tornem a matriz igual a essa. Observando a definição de
, vemos que as entradas fora da diagonal são sempre
. Portanto, não conseguimos obter uma matriz com todos os zeros substituindo
e
. Isso já nos indica que
não contém o vetor zero.
Passo 3
Mesmo já sabendo que o vetor zero não está em
, vamos verificar outra propriedade: se
é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos duas matrizes quaisquer de
e as somarmos, o resultado também deve estar em
.
Seja:
A soma
é:
Para que
esteja em
, as entradas fora da diagonal devem ser
. Mas aqui temos
nessas posições, o que não corresponde à definição de
. Logo,
não é fechado sob adição.
Passo 4
Por fim, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, se multiplicarmos qualquer matriz de
por um número real
, o resultado também deve estar em
.
Pegando uma matriz
de
:
A multiplicação por escalar é:
Para que
esteja em
, as entradas fora da diagonal devem ser
. Mas a menos que
, essas entradas serão diferentes de
. Portanto,
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Não, o conjunto
não é um espaço vetorial, pois não contém o vetor zero, nem é fechado sob adição e multiplicação por escalar.