Verificar se o conjunto de todos os pares de números reais da forma ( 1, y) é um espaço vetorial com as operações definidas por:
- adição:
;
- multiplicação por escalar:
.
Lembre-se: o conjunto pode ser expresso como
.
Lembre-se: o conjunto pode ser expresso como
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto
é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas da seguinte forma:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Para resolver isso, vamos lembrar que para
ser um espaço vetorial, ele precisa satisfazer certos axiomas, como ter um vetor zero, comutatividade da adição, existência de inversos, etc. Vamos checar esses axiomas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
contém o vetor zero. No contexto dos espaços vetoriais, o vetor zero é aquele que, quando adicionado a qualquer vetor do espaço, não muda o vetor original.
No
, o vetor zero é
. Vamos ver se
pertence a
:
Para
estar em
, o primeiro componente deveria ser 1, mas aqui é 0. Ou seja,
.
Passo 3
Como o vetor zero
não está em
, isso já nos dá um problema. Um dos axiomas fundamentais de um espaço vetorial é a existência do vetor zero dentro do próprio conjunto. Sem ele, o conjunto não pode ser um espaço vetorial.
Passo 4
Além disso, vamos pensar na fechadura sob a adição. A operação de adição está definida como:
Isso mantém o primeiro componente sempre igual a 1, o que parece estar ok dentro do conjunto
, já que todo vetor tem o primeiro componente igual a 1.
No entanto, mesmo que essa parte esteja correta, a ausência do vetor zero já impede que
seja um espaço vetorial.
Passo 5
Outro ponto importante é a fechadura sob a multiplicação por escalar. A operação está definida como:
Aqui, ao multiplicar por um escalar
, apenas o segundo componente é afetado, mantendo o primeiro sempre igual a 1. Isso significa que, para
, teremos:
O vetor
está em
, mas queremos que
para qualquer vetor
, ou seja, deveríamos obter o vetor zero
, que não está em
.
Resposta
Não,
não é um espaço vetorial porque não contém o vetor zero e não satisfaz os axiomas necessários para ser um espaço vetorial.