Quais dos seguintes conjuntos
abaixo são subespaço de
? Justifique.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, então a gente vai analisar se o conjunto
é um subespaço de
. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos verificar três coisas básicas: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está no conjunto
. O vetor zero em
é
. Substituindo
na equação
, temos
. Então,
está em
. Isso confirma a primeira condição.
Passo 3
Agora, vamos checar se o conjunto é fechado sob adição. Se pegarmos dois vetores quaisquer em
, digamos
e
, onde
e
, a soma deles será
. Observamos que
, então a soma também satisfaz
. Assim,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Se pegarmos um vetor
em
e multiplicarmos por um escalar
, obtemos
. Como
, então
, o que satisfaz a equação
. Portanto,
também é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço de
porque contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar.