Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são subespaço de R^2 ? Justifique.
(a) W=(x, y) mid y=-x

Passo 1

Beleza, então a gente vai analisar se o conjunto é um subespaço de . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos verificar três coisas básicas: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o vetor zero está no conjunto . O vetor zero em é . Substituindo na equação , temos . Então, está em . Isso confirma a primeira condição.

Passo 3

Agora, vamos checar se o conjunto é fechado sob adição. Se pegarmos dois vetores quaisquer em , digamos e , onde e , a soma deles será . Observamos que , então a soma também satisfaz . Assim, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Se pegarmos um vetor em e multiplicarmos por um escalar , obtemos . Como , então , o que satisfaz a equação . Portanto, também é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço de porque contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar.

Exercícios relacionados