Quais dos seguintes subconjuntos de
são subespaços de
?
Todas as combinações lineares dos vetores
e
.
Todas as combinações lineares dos vetores
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores em
, especificamente todas as combinações lineares dos vetores
e
. A pergunta é: esse conjunto é um subespaço de
? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se esse conjunto satisfaz as propriedades necessárias para ser considerado um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma combinação linear. Uma combinação linear de vetores
é uma soma onde cada vetor é multiplicado por um escalar. No nosso caso, qualquer vetor no conjunto pode ser escrito como:
onde
e
são números reais.
Passo 3
Agora, para verificar se esse conjunto é um subespaço de
, precisamos checar três propriedades fundamentais:
- Contém o vetor zero: O vetor zero é
. Se colocarmos e na combinação linear, temos:
Então, o vetor zero está no conjunto.
- Fechado sob adição: Se pegarmos dois vetores quaisquer do conjunto, digamos
e , a soma deles será:
Que também é uma combinação linear dos vetores
e
, portanto, está no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se pegarmos um vetor
e multiplicarmos por um escalar , obtemos:
Isso também é uma combinação linear dos mesmos vetores, então pertence ao conjunto.
Resposta
O conjunto de todas as combinações lineares dos vetores
e
é um subespaço de
.