Quais dos seguintes subconjuntos de R^3 são subespaços de R^3 ?
Todas as combinações lineares dos vetores (1,1,0) e (2,0,1).

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores em , especificamente todas as combinações lineares dos vetores e . A pergunta é: esse conjunto é um subespaço de ? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se esse conjunto satisfaz as propriedades necessárias para ser considerado um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma combinação linear. Uma combinação linear de vetores a(1,1,0) + b(2,0,1) é uma soma onde cada vetor é multiplicado por um escalar. No nosso caso, qualquer vetor no conjunto pode ser escrito como:
onde e são números reais.

Passo 3

Agora, para verificar se esse conjunto é um subespaço de 0(1,1,0) + 0(2,0,1) = (0,0,0) , precisamos checar três propriedades fundamentais:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero é u + v = (a+c)(1,1,0) + (b+d)(2,0,1) . Se colocarmos k cdot u = (ka)(1,1,0) + (kb)(2,0,1) e na combinação linear, temos:
Então, o vetor zero está no conjunto.
  1. Fechado sob adição: Se pegarmos dois vetores quaisquer do conjunto, digamos e , a soma deles será:
Que também é uma combinação linear dos vetores e , portanto, está no conjunto.
  1. Fechado sob multiplicação por escalar: Se pegarmos um vetor e multiplicarmos por um escalar , obtemos:
Isso também é uma combinação linear dos mesmos vetores, então pertence ao conjunto.

Resposta

O conjunto de todas as combinações lineares dos vetores e é um subespaço de .

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