Quais dos seguintes subconjuntos de são subespaços de ?
Todas as combinações lineares dos vetores e .
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores em , especificamente todas as combinações lineares dos vetores e . A pergunta é: esse conjunto é um subespaço de ? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se esse conjunto satisfaz as propriedades necessárias para ser considerado um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma combinação linear. Uma combinação linear de vetores é uma soma onde cada vetor é multiplicado por um escalar. No nosso caso, qualquer vetor no conjunto pode ser escrito como:
onde e são números reais.
Passo 3
Agora, para verificar se esse conjunto é um subespaço de , precisamos checar três propriedades fundamentais:
Contém o vetor zero: O vetor zero é . Se colocarmos e na combinação linear, temos:
Então, o vetor zero está no conjunto.
Fechado sob adição: Se pegarmos dois vetores quaisquer do conjunto, digamos e , a soma deles será:
Que também é uma combinação linear dos vetores e , portanto, está no conjunto.
Fechado sob multiplicação por escalar: Se pegarmos um vetor e multiplicarmos por um escalar , obtemos:
Isso também é uma combinação linear dos mesmos vetores, então pertence ao conjunto.
Resposta
O conjunto de todas as combinações lineares dos vetores e é um subespaço de .