O ponto
é um vértice de uma elipse
cujos focos se acham sobre a reta
. Determine a equação de
sabendo que sua excentricidade é
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de elipse juntos! A gente tem um ponto que é vértice da elipse, que é (3, 1). Sabemos que os focos da elipse estão na reta
e que a excentricidade
da elipse é
. Vamos precisar usar conceitos de geometria das elipses, como a definição de excentricidade e a relação entre os eixos da elipse para encontrar sua equação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a excentricidade
de uma elipse é dada pela fórmula
, onde:
-
é a distância do centro da elipse até cada foco. -
é o comprimento do semi-eixo maior.
Como
, podemos escrever:
Isso nos dá uma relação entre
e
.
Passo 3
Sabemos também que em uma elipse, a relação entre os semi-eixos é dada por:
Onde
é o comprimento do semi-eixo menor. Vamos usar isso depois que encontrarmos
e
.
Passo 4
Vamos descobrir o centro da elipse. Como os focos estão na reta
, o centro também estará nessa reta porque os focos estão sim��tricos em relação ao centro. Portanto, as coordenadas do centro são
.
Passo 5
Sabemos que o ponto
é um vértice da elipse. O vértice está localizado a uma distância
do centro ao longo do eixo maior. Então, a distância entre
e
deve ser igual a
.
Vamos calcular essa distância:
Passo 6
Já que os focos estão na reta
, o eixo maior é vertical. Portanto, a distância vertical entre o centro
e o vértice
é
.
Calculando a diferença nas coordenadas y:
Então,
.
Passo 7
Com
, podemos usar a relação da excentricidade para encontrar
:
Multiplicando ambos os lados por 7:
Passo 8
Agora, usamos a relação
para encontrar
:
Passo 9
Agora que temos
,
e o centro
, precisamos encontrar
. Observamos que o vértice está na posição
e sabemos que o eixo maior é vertical, então as coordenadas x do centro e do vértice devem ser iguais. Portanto,
.
Passo 10
Finalmente, com o centro
,
, e
, podemos escrever a equação padrão da elipse vertical:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da elipse é: