O ponto (3,1) é um vértice de uma elipse E cujos focos se acham sobre a reta y+6=0. Determine a equação de E sabendo que sua excentricidade é raiz22

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de elipse juntos! A gente tem um ponto que é vértice da elipse, que é (3, 1). Sabemos que os focos da elipse estão na reta e que a excentricidade da elipse é . Vamos precisar usar conceitos de geometria das elipses, como a definição de excentricidade e a relação entre os eixos da elipse para encontrar sua equação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a excentricidade raiz22 = ca de uma elipse é dada pela fórmula , onde:
  • é a distância do centro da elipse até cada foco.
  • é o comprimento do semi-eixo maior.
Como , podemos escrever:
Isso nos dá uma relação entre e .

Passo 3

Sabemos também que em uma elipse, a relação entre os semi-eixos é dada por:
c^2 = a^2 - b^2
Onde é o comprimento do semi-eixo menor. Vamos usar isso depois que encontrarmos e .

Passo 4

Vamos descobrir o centro da elipse. Como os focos estão na reta , o centro também estará nessa reta porque os focos estão sim��tricos em relação ao centro. Portanto, as coordenadas do centro são .

Passo 5

Sabemos que o ponto a = raiz(3 - h)^2 + (1 - (-6))^2 é um vértice da elipse. O vértice está localizado a uma distância a = raiz(3 - h)^2 + 49 do centro ao longo do eixo maior. Então, a distância entre e deve ser igual a .
Vamos calcular essa distância:

Passo 6

Já que os focos estão na reta a = 1 - (-6) = 7 , o eixo maior é vertical. Portanto, a distância vertical entre o centro e o vértice é .
Calculando a diferença nas coordenadas y:
Então, .

Passo 7

Com raiz22 = c7 , podemos usar a relação da excentricidade para encontrar c = 7raiz22 :
Multiplicando ambos os lados por 7:

Passo 8

Agora, usamos a relação ( 7raiz22 )^2 = 7^2 - b^2 para encontrar 49 times 24 = 49 - b^2 :
984 = 49 - b^2
24.5 = 49 - b^2
b^2 = 49 - 24.5
b^2 = 24.5
b = raiz24.5
b = 7raiz2

Passo 9

Agora que temos , e o centro , precisamos encontrar . Observamos que o vértice está na posição e sabemos que o eixo maior é vertical, então as coordenadas x do centro e do vértice devem ser iguais. Portanto, .

Passo 10

Finalmente, com o centro (x - h)^2b^2 + (y - k)^2a^2 = 1 , (x - 3)^224.5 + (y + 6)^249 = 1 , e , podemos escrever a equação padrão da elipse vertical:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da elipse é:
(x - 3)^224.5 + (y + 6)^249 = 1

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