Os conjuntos abaixo são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.)? Justifique.
(f) S=(1,1,1),(2,3,1),(3,1,2),(0,0,1), V=R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores no espaço é linearmente independente (L.I.) ou dependente (L.D.). Para isso, vamos precisar entender os conceitos de linearidade e como testar a independência dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros, então os vetores são L.I. Caso contrário, são L.D. Como temos quatro vetores em um espaço tridimensional ( ), já suspeitamos que possam ser dependentes, porque em , não dá para ter mais de vetores linearmente independentes.

Passo 3

Para confirmar isso, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
A = 1 & 2 & 3 & 0 1 & 3 & 1 & 0 1 & 1 & 2 & 1
Agora, vamos analisar o posto dessa matriz. Se o posto for menor que o número de vetores, significa que há dependência linear.

Passo 4

Vamos realizar operações nas linhas para simplificar a matriz:
  1. Subtraia a primeira linha da segunda e da terceira:
1 & 2 & 3 & 0 0 & 1 & -2 & 0 0 & -1 & -1 & 1
  1. Some a segunda linha com a terceira:
1 & 2 & 3 & 0 0 & 1 & -2 & 0 0 & 0 & -3 & 1

Passo 5

Observamos que a matriz agora está em forma escalonada e temos três pivôs (um em cada linha). Isso significa que o posto da matriz é 3. Contudo, como temos 4 vetores, que é mais que o posto da matriz, isso confirma que há dependência linear.

Passo 6

Outra forma de ver isso é perceber que em , qualquer conjunto com mais de 3 vetores necessariamente terá pelo menos um vetor que pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente.

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