Escrever o polinômio
de
como uma combinação linear dos polinômios
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente precisa escrever o polinômio
pertencente a
como uma combinação linear dos polinômios
,
e
. Para isso, vamos precisar entender como funciona a combinação linear e montar um sistema de equações para encontrar os coeficientes que multiplicam cada polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Basicamente, queremos encontrar números (coeficientes) que, quando multiplicados pelos polinômios
,
e
e somados, resultem no polinômio
. Ou seja, queremos achar
,
e
tais que:
Passo 3
Vamos substituir os polinômios nas expressões:
Agora, vamos distribuir os coeficientes:
Passo 4
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes (termos com
,
e os constantes):
Passo 5
Para que os polinômios sejam iguais, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Termo constante:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Primeiro, da equação 1:
Passo 7
Agora, substituímos
na equação 3 para encontrar
:
Passo 8
Por fim, substituímos
e
na equação 2:
Passo 9
Agora que temos
, podemos encontrar
e
:
Resposta
Portanto, o polinômio
pode ser escrito como: