Escrever o polinômio v=t^2+4 t-3 de P2 como uma combinação linear dos polinômios p1=t+1 , p2=t^2-2 t+5 e p3=2 t^2-3 t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente precisa escrever o polinômio v = t^2 + 4t - 3 pertencente a P2 como uma combinação linear dos polinômios p1 = t + 1, p2 = t^2 - 2t + 5 e p3 = 2t^2 - 3t. Para isso, vamos precisar entender como funciona a combinação linear e montar um sistema de equações para encontrar os coeficientes que multiplicam cada polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Basicamente, queremos encontrar números (coeficientes) que, quando multiplicados pelos polinômios p1, p2 e p3 e somados, resultem no polinômio v. Ou seja, queremos achar a, b e c tais que:
v = ap1 + bp2 + cp3

Passo 3

Vamos substituir os polinômios nas expressões:
t^2 + 4t - 3 = a(t + 1) + b(t^2 - 2t + 5) + c(2t^2 - 3t)
Agora, vamos distribuir os coeficientes:
t^2 + 4t - 3 = a t + a + b t^2 - 2b t + 5b + 2c t^2 - 3c t

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes (termos com t^2, t e os constantes):
t^2 + 4t - 3 = (b + 2c) t^2 + (a - 2b - 3c) t + (a + 5b)

Passo 5

Para que os polinômios sejam iguais, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
  1. Coeficiente de t^2:
1 = b + 2c
  1. Coeficiente de t:
4 = a - 2b - 3c
  1. Termo constante:
-3 = a + 5b

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Primeiro, da equação 1:
1 = b + 2c Rightarrow b = 1 - 2c

Passo 7

Agora, substituímos b = 1 - 2c na equação 3 para encontrar a:
-3 = a + 5(1 - 2c) -3 = a + 5 - 10c a = -3 - 5 + 10c a = -8 + 10c

Passo 8

Por fim, substituímos b = 1 - 2c e a = -8 + 10c na equação 2:
4 = (-8 + 10c) - 2(1 - 2c) - 3c 4 = -8 + 10c - 2 + 4c - 3c 4 = -10 + 11c 11c = 14 c = 1411

Passo 9

Agora que temos c = 1411, podemos encontrar b e a:
b = 1 - 2(1411) = 1 - 2811 = 1111 - 2811 = -1711
a = -8 + 10(1411) = -8 + 14011 = -8811 + 14011 = 5211

Resposta

Portanto, o polinômio v = t^2 + 4t - 3 pode ser escrito como:
v = 5211p1 - 1711p2 + 1411p3

Exercícios relacionados