Determine o foco, o vértice, a equação da diretriz e esboce as parábolas cujas equações são: x^2-8 y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o foco, o vértice, a equação da diretriz e esboçar a parábola da equação . Estamos trabalhando com parábolas, que são partes das seções cônicas. Para isso, vamos precisar lembrar das propriedades básicas da parábola e de como identificar seus elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da parábola de uma forma mais familiar. A equação dada é x^2 = 8y . Podemos rearranjar isso para:
Essa é a forma padrão de uma parábola com a orientação voltada para cima (ou para baixo), dependendo do sinal.

Passo 3

Na forma padrão 4p = 8 implies p = 2 , o parâmetro representa a distância entre o vértice e o foco, além da distância entre o vértice e a diretriz. Comparando com nossa equação , vemos que:

Passo 4

Agora, vamos identificar o vértice da parábola. Na forma padrão, Vértice: (0, 0) é o vértice. Como nossa equação é , não há termos com ou , o que significa que o v��rtice está na origem:
é

Passo 5

Com Foco: (0, p) = (0, 2) , podemos encontrar o foco. Para parábolas na forma , o foco está localizado a unidades acima do vértice. Então:

Passo 6

A diretriz é uma linha reta que fica a y = -p = -2 unidades opostas do vértice. Como a parábola está voltada para cima, a diretriz estará abaixo do vértice. A equação da diretriz será:

Passo 7

Agora, vamos esboçar a parábola. Sabemos que o vértice está na origem, o foco em e a diretriz em . A parábola se abre para cima porque o coeficiente de é positivo. Podemos desenhar o eixo de simetria na vertical passando pelo foco e pelo vértice.

Resposta

  • Vértice:
  • Foco:
  • Equação da diretriz:
  • Esboço da parábola: Uma parábola com vértice na origem, foco em , diretriz em , e aberta para cima.

Exercícios relacionados