Determine o foco, o vértice, a equação da diretriz e esboce as parábolas cujas equações são:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o foco, o vértice, a equação da diretriz e esboçar a parábola da equação
. Estamos trabalhando com parábolas, que são partes das seções cônicas. Para isso, vamos precisar lembrar das propriedades básicas da parábola e de como identificar seus elementos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da parábola de uma forma mais familiar. A equação dada é
. Podemos rearranjar isso para:
Essa é a forma padrão de uma parábola com a orientação voltada para cima (ou para baixo), dependendo do sinal.
Passo 3
Na forma padrão
, o parâmetro
representa a distância entre o vértice e o foco, além da distância entre o vértice e a diretriz. Comparando com nossa equação
, vemos que:
Passo 4
Agora, vamos identificar o vértice da parábola. Na forma padrão,
é o vértice. Como nossa equação é
, não há termos com
ou
, o que significa que o v��rtice está na origem:
Passo 5
Com
, podemos encontrar o foco. Para parábolas na forma
, o foco está localizado a
unidades acima do vértice. Então:
Passo 6
A diretriz é uma linha reta que fica a
unidades opostas do vértice. Como a parábola está voltada para cima, a diretriz estará abaixo do vértice. A equação da diretriz será:
Passo 7
Agora, vamos esboçar a parábola. Sabemos que o vértice está na origem, o foco em
e a diretriz em
. A parábola se abre para cima porque o coeficiente de
é positivo. Podemos desenhar o eixo de simetria na vertical passando pelo foco e pelo vértice.
Resposta
- Vértice:
- Foco:
- Equação da diretriz:
- Esboço da parábola: Uma parábola com vértice na origem, foco em
, diretriz em , e aberta para cima.