Resolva cada um dos seguintes sistemas utilizando o método de Gauss (matrizes escalonadas)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss, que é uma técnica de álgebra linear para resolver sistemas lineares. A gente vai transformar a matriz das equações em uma forma mais fácil de trabalhar, chamada de forma escalonada, aplicando umas operações nas linhas. Vamos precisar mexer com as equações para eliminar variáveis passo a passo até achar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Isso significa que colocamos os coeficientes das variáveis e os termos constantes juntos em uma matriz. Nosso sistema é:
A matriz aumentada fica assim:

Passo 3

Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para zerar os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna ( ). Para isso:
  • Linha 2 (L2): Subtraímos 4 vezes a Linha 1 da Linha 2.
  • Linha 3 (L3): Subtraímos 2 vezes a Linha 1 da Linha 3.
Vamos fazer isso:
Para L2:
Para L3:
A matriz agora fica:

Passo 4

Agora, vamos simplificar as linhas para facilitar. Vamos dividir a Linha 2 por -5 e a Linha 3 por -1 para tornar os coeficientes principais iguais a 1:
Linha 2 (L2):
Linha 3 (L3):
A matriz agora fica:

Passo 5

Agora, vamos realizar a eliminação para cima para deixar a matriz na forma triangular superior completa. Começamos pela Linha 3 e eliminamos o das linhas acima dela.
Para Linha 2 (L2):
Para Linha 1 (L1):
A matriz agora fica:

Passo 6

Por último, vamos eliminar a variável da Linha 1 para isolar completamente cada variável:
A matriz final fica:

Resposta

As soluções do sistema são:

Exercícios relacionados

Os conjuntos abaixo são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.)? Justifique.
(b) .
Encontre a base de , tal que
Considere a transformação linear dada por . Sejam a base canônica do e base do . Determine e . Que relação existe entre essas matrizes?