Resolva cada um dos seguintes sistemas utilizando o método de Gauss (matrizes escalonadas)
r x1+x2-x3=7 4 x1-x2+5 x3=4 2 x1+2 x2-3 x3=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss, que é uma técnica de álgebra linear para resolver sistemas lineares. A gente vai transformar a matriz das equações em uma forma mais fácil de trabalhar, chamada de forma escalonada, aplicando umas operações nas linhas. Vamos precisar mexer com as equações para eliminar variáveis passo a passo até achar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Isso significa que colocamos os coeficientes das variáveis e os termos constantes juntos em uma matriz. Nosso sistema é:
x1 + x2 - x3 = 7 4x1 - x2 + 5x3 = 4 2x1 + 2x2 - 3x3 = 0
A matriz aumentada fica assim:
1 & 1 & -1 & | & 7 4 & -1 & 5 & | & 4 2 & 2 & -3 & | & 0

Passo 3

Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para zerar os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna ( L2 = L2 - 4 times L1 4 - 4 times 1 = 0 -1 - 4 times 1 = -5 5 - 4 times (-1) = 9 4 - 4 times 7 = 4 - 28 = -24 ). Para isso:
  • Linha 2 (L2): Subtraímos 4 vezes a Linha 1 da Linha 2.
  • Linha 3 (L3): Subtraímos 2 vezes a Linha 1 da Linha 3.
Vamos fazer isso:
Para L2:
L3 = L3 - 2 times L1 2 - 2 times 1 = 0 2 - 2 times 1 = 0 -3 - 2 times (-1) = -3 + 2 = -1 0 - 2 times 7 = 0 - 14 = -14
Para L3:
1 & 1 & -1 & | & 7 0 & -5 & 9 & | & -24 0 & 0 & -1 & | & -14
A matriz agora fica:

Passo 4

Agora, vamos simplificar as linhas para facilitar. Vamos dividir a Linha 2 por -5 e a Linha 3 por -1 para tornar os coeficientes principais iguais a 1:
Linha 2 (L2):
L2 = L2-5 0 div -5 = 0 -5 div -5 = 1 9 div -5 = -95 -24 div -5 = 245
Linha 3 (L3):
L3 = L3-1 0 div -1 = 0 0 div -1 = 0 -1 div -1 = 1 -14 div -1 = 14
A matriz agora fica:
1 & 1 & -1 & | & 7 0 & 1 & -95 & | & 245 0 & 0 & 1 & | & 14

Passo 5

Agora, vamos realizar a eliminação para cima para deixar a matriz na forma triangular superior completa. Começamos pela Linha 3 e eliminamos o L2 = L2 + 95 times L3 0 + 95 times 0 = 0 1 + 95 times 0 = 1 -95 + 95 times 1 = 0 245 + 95 times 14 = 245 + 1265 = 1505 = 30 das linhas acima dela.
Para Linha 2 (L2):
L1 = L1 + 1 times L3 1 + 0 = 1 1 + 0 = 1 -1 + 1 = 0 7 + 14 = 21
Para Linha 1 (L1):
1 & 1 & 0 & | & 21 0 & 1 & 0 & | & 30 0 & 0 & 1 & | & 14
A matriz agora fica:

Passo 6

Por último, vamos eliminar a variável L1 = L1 - 1 times L2 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 0 - 0 = 0 21 - 30 = -9 da Linha 1 para isolar completamente cada variável:
1 & 0 & 0 & | & -9 0 & 1 & 0 & | & 30 0 & 0 & 1 & | & 14
A matriz final fica:

Resposta

As soluções do sistema são:
x1 = -9 x2 = 30 x3 = 14

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