Considere T: R^3 R^3 a transformação linear dada por T(x, y, z)=(x+y, x-y, y+z). Sejam beta a base canônica do R^3 e alpha=(1,2,0),(1,1,-1),(0,0,1) base do R^3. Determine [T]beta^alpha e [T]alpha^beta. Que relação existe entre essas matrizes?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . As bases envolvidas são:
  • Base : A base canônica de , ou seja, onde , e .
  • Base : Uma base qualquer de , dada por .
Nosso objetivo é determinar as matrizes da transformação nas bases e , ou seja, e , e entender a relação entre elas.

Passo 2

Vamos começar determinando . Essa matriz representa a transformação onde o domínio está na base e o contradomínio na base . Para construir essa matriz, precisamos aplicar a cada vetor da base e expressar o resultado em termos da base .

Passo 3

Primeiro, aplicamos T(e1) = T(1,0,0) = (1+0, 1-0, 0+0) = (1,1,0) aos vetores da base T(e2) = T(0,1,0) = (0+1, 0-1, 1+0) = (1,-1,1) :
T(e3) = T(0,0,1) = (0+0, 0-0, 0+1) = (0,0,1)
Agora, precisamos expressar cada um desses resultados como combinações lineares dos vetores da base .

Passo 4

Vamos expressar (1,1,0) = a(1,2,0) + b(1,1,-1) + c(0,0,1) na base 1 = a + b 1 = 2a + b 0 = -b + c . Procuramos coeficientes T(e1) = 0 cdot (1,2,0) + 1 cdot (1,1,-1) + 1 cdot (0,0,1) tais que:
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos , e . Portanto,
As coordenadas de na base são .

Passo 5

Agora, vamos expressar (1,-1,1) = a(1,2,0) + b(1,1,-1) + c(0,0,1) na base 1 = a + b -1 = 2a + b 1 = -b + c :
T(e2) = -2 cdot (1,2,0) + 3 cdot (1,1,-1) + 4 cdot (0,0,1)
Sistema de equações:
Resolvendo, encontramos , e . Logo,
As coordenadas de na base são .

Passo 6

Por fim, expressamos (0,0,1) = a(1,2,0) + b(1,1,-1) + c(0,0,1) na base 0 = a + b 0 = 2a + b 1 = -b + c :
T(e3) = 0 cdot (1,2,0) + 0 cdot (1,1,-1) + 1 cdot (0,0,1)
Sistema de equações:
Resolvendo, encontramos , e . Portanto,
As coordenadas de na base são .

Passo 7

Agora, construímos a matriz [T]beta^alpha = 0 & -2 & 0 1 & 3 & 0 1 & 4 & 1 colocando as coordenadas encontradas em cada coluna:

Passo 8

Para determinar T(1,2,0) = (1+2, 1-2, 2+0) = (3,-1,2) , precisamos fazer o processo inverso: aplicar T(1,1,-1) = (1+1, 1-1, 1+(-1)) = (2,0,0) aos vetores da base T(0,0,1) = (0+0, 0-0, 0+1) = (0,0,1) e expressar os resultados na base [T]alpha^beta = 3 & 2 & 0 -1 & 0 & 0 2 & 0 & 1 (a base canônica). Vamos calcular:
Como a base é a canônica, as coordenadas dos vetores transformados já estão na forma desejada. Portanto, a matriz é:

Passo 9

Finalmente, vamos entender a relação entre as matrizes e . Essas matrizes representam a mesma transformação linear , mas em diferentes sistemas de coordenadas. Em geral, elas não são inversas uma da outra a menos que haja uma rela��ão especial entre as bases e .

Resposta

A matriz [T]beta^alpha = 0 & -2 & 0 1 & 3 & 0 1 & 4 & 1 é
[T]alpha^beta = 3 & 2 & 0 -1 & 0 & 0 2 & 0 & 1
e a matriz é
Ambas as matrizes representam a mesma transformação linear , mas em diferentes sistemas de coordenadas (bases). Elas mostram como atua quando mudamos de uma base para outra no domínio e no contradomínio.

Exercícios relacionados