Considere a transformação linear dada por . Sejam a base canônica do e base do . Determine e . Que relação existe entre essas matrizes?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . As bases envolvidas são:
Base : A base canônica de , ou seja, onde , e .
Base : Uma base qualquer de , dada por .
Nosso objetivo é determinar as matrizes da transformação nas bases e , ou seja, e , e entender a relação entre elas.
Passo 2
Vamos começar determinando . Essa matriz representa a transformação onde o domínio está na base e o contradomínio na base . Para construir essa matriz, precisamos aplicar a cada vetor da base e expressar o resultado em termos da base .
Passo 3
Primeiro, aplicamos aos vetores da base :
Agora, precisamos expressar cada um desses resultados como combinações lineares dos vetores da base .
Passo 4
Vamos expressar na base . Procuramos coeficientes tais que:
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos , e . Portanto,
As coordenadas de na base são .
Passo 5
Agora, vamos expressar na base :
Sistema de equações:
Resolvendo, encontramos , e . Logo,
As coordenadas de na base são .
Passo 6
Por fim, expressamos na base :
Sistema de equações:
Resolvendo, encontramos , e . Portanto,
As coordenadas de na base são .
Passo 7
Agora, construímos a matriz colocando as coordenadas encontradas em cada coluna:
Passo 8
Para determinar , precisamos fazer o processo inverso: aplicar aos vetores da base e expressar os resultados na base (a base canônica). Vamos calcular:
Como a base é a canônica, as coordenadas dos vetores transformados já estão na forma desejada. Portanto, a matriz é:
Passo 9
Finalmente, vamos entender a relação entre as matrizes e . Essas matrizes representam a mesma transformação linear , mas em diferentes sistemas de coordenadas. Em geral, elas não são inversas uma da outra a menos que haja uma rela��ão especial entre as bases e .
Resposta
A matriz é
e a matriz é
Ambas as matrizes representam a mesma transformação linear , mas em diferentes sistemas de coordenadas (bases). Elas mostram como atua quando mudamos de uma base para outra no domínio e no contradomínio.