Beleza, vamos lá! A questão nos dá um conjunto de vetores que é linearmente independente (L.I.) em um espaço vetorial . O que a gente precisa fazer é verificar se o conjunto também é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.). Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é L.I. se a única maneira de combinar esses vetores para obter o vetor zero é usando todos os coeficientes iguais a zero. Em outras palavras, se:
Então, para que o conjunto seja L.I., a única solução deve ser .
Passo 3
Agora, vamos montar essa equação:
Distribuindo os coeficientes:
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 4
Como são vetores linearmente independentes (já que é L.I.), os coeficientes de cada vetor devem ser iguais a zero:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações:
Da primeira equação:
Da segunda equação: =>
Da terceira equação: =>
Substituindo na terceira equação: . Então, todas as incógnitas são iguais: .
Passo 6
Isso significa que existe uma solução não trivial para a combinação linear que dá zero (ou seja, não precisam ser zeros). Portanto, os vetores em são linearmente dependentes.