Seja S=u, v, w um conjunto L.I. em V. Verifique se os conjuntos abaixo são L.I. ou L.D. justificando sua resposta.
© S3=u-v, v-w, w-u.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um conjunto de vetores que é linearmente independente (L.I.) em um espaço vetorial . O que a gente precisa fazer é verificar se o conjunto também é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.). Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é L.I. se a única maneira de combinar esses vetores para obter o vetor zero é usando todos os coeficientes iguais a zero. Em outras palavras, se:
a(u - v) + b(v - w) + c(w - u) = 0
Então, para que o conjunto seja L.I., a única solução deve ser .

Passo 3

Agora, vamos montar essa equação:
a(u - v) + b(v - w) + c(w - u) = 0
Distribuindo os coeficientes:
a u - a v + b v - b w + c w - c u = 0
Vamos agrupar os termos semelhantes:
(a - c)u + (-a + b)v + (-b + c)w = 0

Passo 4

Como a - c = 0 -a + b = 0 -b + c = 0 são vetores linearmente independentes (já que é L.I.), os coeficientes de cada vetor devem ser iguais a zero:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
  2. Da segunda equação: =>
  3. Da terceira equação: =>
Substituindo na terceira equação: . Então, todas as incógnitas são iguais: .

Passo 6

Isso significa que existe uma solução não trivial para a combinação linear que dá zero (ou seja, não precisam ser zeros). Portanto, os vetores em são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente.

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