Seja um conjunto L.I. em . Verifique se os conjuntos abaixo são L.I. ou L.D. justificando sua resposta.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um conjunto de vetores que é linearmente independente (L.I.) em um espaço vetorial . O que a gente precisa fazer é verificar se o conjunto também é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.). Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é L.I. se a única maneira de combinar esses vetores para obter o vetor zero é usando todos os coeficientes iguais a zero. Em outras palavras, se:
Então, para que o conjunto seja L.I., a única solução deve ser .

Passo 3

Agora, vamos montar essa equação:
Distribuindo os coeficientes:
Vamos agrupar os termos semelhantes:

Passo 4

Como são vetores linearmente independentes (já que é L.I.), os coeficientes de cada vetor devem ser iguais a zero:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
  2. Da segunda equação: =>
  3. Da terceira equação: =>
Substituindo na terceira equação: . Então, todas as incógnitas são iguais: .

Passo 6

Isso significa que existe uma solução não trivial para a combinação linear que dá zero (ou seja, não precisam ser zeros). Portanto, os vetores em são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente.

Exercícios relacionados

Sejam e subespaços de . Mostre que .
Os conjuntos abaixo são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.)? Justifique.
(h) .
Obter uma base para que contenha os vetores:
e
Verificar se os seguintes conjuntos são bases do . Em caso negativo, obter o subespaço gerado pelo conjunto, uma base e a dimensão deste conjunto: