Os conjuntos abaixo são linearmente independentes ou linearmente dependentes? Justifique (Faça contas somente quando for realmente necessário!)
;
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de cinco polinômios no espaço
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3. A pergunta é: esses polinômios são linearmente independentes ou dependentes?
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a dimensão de
é 4. Isso significa que qualquer conjunto com mais de quatro polinômios nesse espaço necessariamente será linearmente dependente. Isso ocorre porque, em um espaço com dimensão
, não podemos ter mais de
vetores (ou polinômios, no caso) que sejam todos independentes.
Passo 3
Como temos cinco polinômios no conjunto e a dimensão de
é 4, já sabemos que esses polinômios são linearmente dependentes. Não precisamos fazer cálculos adicionais porque a quantidade de polinômios excede a dimensão do espaço.
Resposta
Os polinômios são linearmente dependentes porque há mais de quatro elementos no conjunto, excedendo a dimensão de
.
Exercícios relacionados
Determine
, onde
.
Em cada parte, encontre a matriz aumentada do sistema de equações lineares dado.
Denotar a matriz
do tipo
sabendo que
.
Forme as matrizes
e
definidas pelas relações:
(b) Efetue os produtos
e
.