Os conjuntos abaixo são linearmente independentes ou linearmente dependentes? Justifique (Faça contas somente quando for realmente necessário!)
x^3-3 x, 2 x^2+4,5 x^3-7 x^2+3,4 x^3-8,6 x subset P3;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de cinco polinômios no espaço P3, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3. A pergunta é: esses polinômios são linearmente independentes ou dependentes?

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a dimensão de P3 é 4. Isso significa que qualquer conjunto com mais de quatro polinômios nesse espaço necessariamente será linearmente dependente. Isso ocorre porque, em um espaço com dimensão n, não podemos ter mais de n vetores (ou polinômios, no caso) que sejam todos independentes.

Passo 3

Como temos cinco polinômios no conjunto e a dimensão de P3 é 4, já sabemos que esses polinômios são linearmente dependentes. Não precisamos fazer cálculos adicionais porque a quantidade de polinômios excede a dimensão do espaço.

Resposta

Os polinômios são linearmente dependentes porque há mais de quatro elementos no conjunto, excedendo a dimensão de P3.

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