Determine [S], onde S=(1,-2,5,4),(2,3,1,-4),(3,8,-3,-5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o conjunto , onde . Isso está relacionado a Álgebra Linear, mais especificamente ao conceito de espaço gerado por um conjunto de vetores. Para resolver isso, vamos precisar verificar se esses vetores são linearmente independentes e, assim, determinar a dimensão do espaço que eles geram.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . é o espaço gerado pelos vetores de , ou seja, todas as combinações lineares possíveis desses vetores. Para descobrir isso, precisamos ver quantos desses vetores são realmente necessários para gerar todo o espaço. Se todos forem independentes, o espaço terá dimensão igual ao número de vetores; se não, a dimensão será menor.

Passo 3

Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas para facilitar a visualização:
1 & 2 & 3 -2 & 3 & 8 5 & 1 & -3 4 & -4 & -5
Agora, vamos aplicar operações de linha para reduzir essa matriz e ver se conseguimos encontrar vetores dependentes.

Passo 4

Aplicando a eliminação de Gauss, começamos com o primeiro elemento da primeira linha como pivô (que já é 1). Vamos zerar os elementos abaixo dele:
  • Multiplicamos a primeira linha por 2 e adicionamos à segunda linha:
-2 + 2(1) = 0, 3 + 2(2) = 7, 8 + 2(3) = 14
  • Multiplicamos a primeira linha por -5 e adicionamos à terceira linha:
5 + (-5)(1) = 0, 1 + (-5)(2) = -9, -3 + (-5)(3) = -18
  • Multiplicamos a primeira linha por -4 e adicionamos à quarta linha:
4 + (-4)(1) = 0, -4 + (-4)(2) = -12, -5 + (-4)(3) = -17
A matriz fica:
1 & 2 & 3 0 & 7 & 14 0 & -9 & -18 0 & -12 & -17

Passo 5

Agora, vamos focar no segundo pivô, que é 7 na segunda linha. Vamos zerar os elementos abaixo dele:
  • Multiplicamos a segunda linha por -9 + 97(7) = 0, -18 + 97(14) = 0 e adicionamos à terceira linha:
-12 + 127(7) = 0, -17 + 127(14) = -17 + 24 = 7
  • Multiplicamos a segunda linha por 1 & 2 & 3 0 & 7 & 14 0 & 0 & 0 0 & 0 & 7 e adicionamos à quarta linha:
A matriz fica:

Passo 6

Observamos que temos duas linhas não nulas, o que significa que temos dois vetores independentes. Isso indica que o espaço gerado por tem dimensão 2. Portanto, é um subespaço bidimensional de .

Resposta

O espaço é um subespaço de dimensão 2 em .

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