Determine , onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o conjunto , onde . Isso está relacionado a Álgebra Linear, mais especificamente ao conceito de espaço gerado por um conjunto de vetores. Para resolver isso, vamos precisar verificar se esses vetores são linearmente independentes e, assim, determinar a dimensão do espaço que eles geram.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . é o espaço gerado pelos vetores de , ou seja, todas as combinações lineares possíveis desses vetores. Para descobrir isso, precisamos ver quantos desses vetores são realmente necessários para gerar todo o espaço. Se todos forem independentes, o espaço terá dimensão igual ao número de vetores; se não, a dimensão será menor.

Passo 3

Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas para facilitar a visualização:
Agora, vamos aplicar operações de linha para reduzir essa matriz e ver se conseguimos encontrar vetores dependentes.

Passo 4

Aplicando a eliminação de Gauss, começamos com o primeiro elemento da primeira linha como pivô (que já é 1). Vamos zerar os elementos abaixo dele:
  • Multiplicamos a primeira linha por 2 e adicionamos à segunda linha:
  • Multiplicamos a primeira linha por -5 e adicionamos à terceira linha:
  • Multiplicamos a primeira linha por -4 e adicionamos à quarta linha:
A matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos focar no segundo pivô, que é 7 na segunda linha. Vamos zerar os elementos abaixo dele:
  • Multiplicamos a segunda linha por e adicionamos à terceira linha:
  • Multiplicamos a segunda linha por e adicionamos à quarta linha:
A matriz fica:

Passo 6

Observamos que temos duas linhas não nulas, o que significa que temos dois vetores independentes. Isso indica que o espaço gerado por tem dimensão 2. Portanto, é um subespaço bidimensional de .

Resposta

O espaço é um subespaço de dimensão 2 em .

Exercícios relacionados

Em cada parte, encontre a matriz aumentada do sistema de equações lineares dado.

Escreva a matriz linha do tipo tal que .
Os conjuntos abaixo são linearmente independentes ou linearmente dependentes? Justifique (Faça contas somente quando for realmente necessário!)
;
Denotar a matriz do tipo sabendo que .