Forme as matrizes 3 times 3 A, B e C definidas pelas relações:
& i ai j=i-j & ii bi j=ij & iii ci j=i^2-j^2
(b) Efetue os produtos A B, B A, A C, B C, A^2 e B^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a tarefa de calcular vários produtos de matrizes , usando as matrizes , e que já foram definidas. O conteúdo que envolve aqui é Álgebra Linear, especificamente operações com matrizes. Para resolver isso, a gente vai precisar saber como multiplicar matrizes, o que envolve somar produtos dos elementos das linhas e colunas correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar brevemente como multiplicar duas matrizes. Se temos duas matrizes (XY)ij = sumk=1^3 Xik cdot Ykj e , o elemento na posição da matriz resultante é a soma dos produtos dos elementos da linha de com os elementos da coluna de . Ou seja:
Então, para cada produto que a gente precisa calcular ( , , , , , e ), vamos aplicar essa regra.

Passo 3

Vamos começar calculando A = a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33 = 1-1 & 1-2 & 1-3 2-1 & 2-2 & 2-3 3-1 & 3-2 & 3-3 = 0 & -1 & -2 1 & 0 & -1 2 & 1 & 0 . Primeiro, precisamos das matrizes B = b11 & b12 & b13 b21 & b22 & b23 b31 & b32 & b33 = 11 & 12 & 13 21 & 22 & 23 31 & 32 & 33 = 1 & 0.5 & 03 2 & 1 & 06 3 & 1.5 & 1 e AB = A cdot B = 0 & -1 & -2 1 & 0 & -1 2 & 1 & 0 cdot 1 & 0.5 & 03 2 & 1 & 06 3 & 1.5 & 1 :
(AB)11 = (0)(1) + (-1)(2) + (-2)(3) = 0 - 2 - 6 = -8
(AB)12 = (0)(0.5) + (-1)(1) + (-2)(1.5) = 0 - 1 - 3 = -4
Agora, calculando (AB)13 = (0)(03) + (-1)(06) + (-2)(1) = 0 - 06 - 2 approx -2.666 :
(AB)21 = (1)(1) + (0)(2) + (-1)(3) = 1 + 0 - 3 = -2
Vamos calcular cada elemento de (AB)22 = (1)(0.5) + (0)(1) + (-1)(1.5) = 0.5 + 0 - 1.5 = -1 :
(AB)23 = (1)(03) + (0)(06) + (-1)(1) = 03 + 0 - 1 approx -0.666
(AB)31 = (2)(1) + (1)(2) + (0)(3) = 2 + 2 + 0 = 4
(AB)32 = (2)(0.5) + (1)(1) + (0)(1.5) = 1 + 1 + 0 = 2
Continuando para as outras linhas:
(AB)33 = (2)(03) + (1)(06) + (0)(1) = 06 + 06 + 0 approx 1.333
AB = -8 & -4 & -2.666 -2 & -1 & -0.666 4 & 2 & 1.333
E para a última linha:
Então, a matriz é aproximadamente:

Passo 4

Agora, vamos calcular BA = B cdot A = 1 & 0.5 & 03 2 & 1 & 06 3 & 1.5 & 1 cdot 0 & -1 & -2 1 & 0 & -1 2 & 1 & 0 . Seguimos o mesmo processo:
(BA)11 = (1)(0) + (0.5)(1) + (03)(2) = 0 + 0.5 + 06 approx 1.166
Calculando cada elemento:
(BA)12 = (1)(-1) + (0.5)(0) + (03)(1) = -1 + 0 + 03 approx -0.666
(BA)13 = (1)(-2) + (0.5)(-1) + (03)(0) = -2 - 0.5 + 0 = -2.5
(BA)21 = (2)(0) + (1)(1) + (06)(2) = 0 + 1 + 13 approx 2.333
Continuando:
(BA)22 = (2)(-1) + (1)(0) + (06)(1) = -2 + 0 + 06 approx -1.333
(BA)23 = (2)(-2) + (1)(-1) + (06)(0) = -4 - 1 + 0 = -5
(BA)31 = (3)(0) + (1.5)(1) + (1)(2) = 0 + 1.5 + 2 = 3.5
E para a última linha:
(BA)32 = (3)(-1) + (1.5)(0) + (1)(1) = -3 + 0 + 1 = -2
(BA)33 = (3)(-2) + (1.5)(-1) + (1)(0) = -6 - 1.5 + 0 = -7.5
BA = 1.166 & -0.666 & -2.5 2.333 & -1.333 & -5 3.5 & -2 & -7.5
Então, a matriz é aproximadamente:

Passo 5

Vamos seguir para C = c11 & c12 & c13 c21 & c22 & c23 c31 & c32 & c33 = 1^2 - 1^2 & 1^2 - 2^2 & 1^2 - 3^2 2^2 - 1^2 & 2^2 - 2^2 & 2^2 - 3^2 3^2 - 1^2 & 3^2 - 2^2 & 3^2 - 3^2 = 0 & -3 & -8 3 & 0 & -5 8 & 5 & 0 . Primeiro, precisamos da matriz AC = A cdot C = 0 & -1 & -2 1 & 0 & -1 2 & 1 & 0 cdot 0 & -3 & -8 3 & 0 & -5 8 & 5 & 0 :
(AC)11 = (0)(0) + (-1)(3) + (-2)(8) = 0 - 3 - 16 = -19
Agora, calculando (AC)12 = (0)(-3) + (-1)(0) + (-2)(5) = 0 + 0 - 10 = -10 :
(AC)13 = (0)(-8) + (-1)(-5) + (-2)(0) = 0 + 5 + 0 = 5
Vamos calcular cada elemento:
(AC)21 = (1)(0) + (0)(3) + (-1)(8) = 0 + 0 - 8 = -8
(AC)22 = (1)(-3) + (0)(0) + (-1)(5) = -3 + 0 - 5 = -8
(AC)23 = (1)(-8) + (0)(-5) + (-1)(0) = -8 + 0 + 0 = -8
Continuando:
(AC)31 = (2)(0) + (1)(3) + (0)(8) = 0 + 3 + 0 = 3
(AC)32 = (2)(-3) + (1)(0) + (0)(5) = -6 + 0 + 0 = -6
(AC)33 = (2)(-8) + (1)(-5) + (0)(0) = -16 - 5 + 0 = -21
E para a última linha:
AC = -19 & -10 & 5 -8 & -8 & -8 3 & -6 & -21
Então, a matriz é:

Passo 6

Agora, vamos calcular BC = B cdot C = 1 & 0.5 & 03 2 & 1 & 06 3 & 1.5 & 1 cdot 0 & -3 & -8 3 & 0 & -5 8 & 5 & 0 :
(BC)11 = (1)(0) + (0.5)(3) + (03)(8) = 0 + 1.5 + 26 approx 4.166
Calculando cada elemento:
(BC)12 = (1)(-3) + (0.5)(0) + (03)(5) = -3 + 0 + 16 approx -1.333
(BC)13 = (1)(-8) + (0.5)(-5) + (03)(0) = -8 - 2.5 + 0 = -10.5
(BC)21 = (2)(0) + (1)(3) + (06)(8) = 0 + 3 + 53 approx 8.333
Continuando:
(BC)22 = (2)(-3) + (1)(0) + (06)(5) = -6 + 0 + 33 approx -2.666
(BC)23 = (2)(-8) + (1)(-5) + (06)(0) = -16 - 5 + 0 = -21
(BC)31 = (3)(0) + (1.5)(3) + (1)(8) = 0 + 4.5 + 8 = 12.5
E para a última linha:
(BC)32 = (3)(-3) + (1.5)(0) + (1)(5) = -9 + 0 + 5 = -4
(BC)33 = (3)(-8) + (1.5)(-5) + (1)(0) = -24 - 7.5 + 0 = -31.5
BC = 4.166 & -1.333 & -10.5 8.333 & -2.666 & -21 12.5 & -4 & -31.5
Então, a matriz é aproximadamente:

Passo 7

Vamos calcular A^2 = A cdot A = 0 & -1 & -2 1 & 0 & -1 2 & 1 & 0 cdot 0 & -1 & -2 1 & 0 & -1 2 & 1 & 0 , que é simplesmente (A^2)11 = (0)(0) + (-1)(1) + (-2)(2) = 0 - 1 - 4 = -5 multiplicada por ela mesma:
(A^2)12 = (0)(-1) + (-1)(0) + (-2)(1) = 0 + 0 - 2 = -2
Calculando cada elemento:
(A^2)13 = (0)(-2) + (-1)(-1) + (-2)(0) = 0 + 1 + 0 = 1
(A^2)21 = (1)(0) + (0)(1) + (-1)(2) = 0 + 0 - 2 = -2
(A^2)22 = (1)(-1) + (0)(0) + (-1)(1) = -1 + 0 - 1 = -2
Continuando:
(A^2)23 = (1)(-2) + (0)(-1) + (-1)(0) = -2 + 0 + 0 = -2
(A^2)31 = (2)(0) + (1)(1) + (0)(2) = 0 + 1 + 0 = 1
(A^2)32 = (2)(-1) + (1)(0) + (0)(1) = -2 + 0 + 0 = -2
E para a última linha:
(A^2)33 = (2)(-2) + (1)(-1) + (0)(0) = -4 -1 + 0 = -5
A^2 = -5 & -2 & 1 -2 & -2 & -2 1 & -2 & -5
Então, a matriz é:

Passo 8

Por fim, vamos calcular B^2 = B cdot B = 1 & 0.5 & 03 2 & 1 & 06 3 & 1.5 & 1 cdot 1 & 0.5 & 03 2 & 1 & 06 3 & 1.5 & 1 :
(B^2)11 = (1)(1) + (0.5)(2) + (03)(3) = 1 + 1 + 1 = 3
Calculando cada elemento:
(B^2)12 = (1)(0.5) + (0.5)(1) + (03)(1.5) = 0.5 + 0.5 + 0.5 = 1.5
(B^2)13 = (1)(03) + (0.5)(06) + (03)(1) = 03 + 03 + 03 approx 1
(B^2)21 = (2)(1) + (1)(2) + (06)(3) = 2 + 2 + 2 = 6
Continuando:
(B^2)22 = (2)(0.5) + (1)(1) + (06)(1.5) = 1 + 1 + 1 = 3
(B^2)23 = (2)(03) + (1)(06) + (06)(1) approx 06 + 06 + 06 = 2
(B^2)31 = (3)(1) + (1.5)(2) + (1)(3) = 3 + 3 + 3 = 9
E para a ��ltima linha:
(B^2)32 = (3)(0.5) + (1.5)(1) + (1)(1.5) = 1.5 + 1.5 + 1.5 = 4.5
(B^2)33 = (3)(03) + (1.5)(06) + (1)(1) approx 1 + 1 + 1 = 3
B^2 = 3 & 1.5 & 1 6 & 3 & 2 9 & 4.5 & 3
Então, a matriz é aproximadamente:

Resposta

Os produtos das matrizes são:
AB = -8 & -4 & -2.666 -2 & -1 & -0.666 4 & 2 & 1.333 , BA = 1.166 & -0.666 & -2.5 2.333 & -1.333 & -5 3.5 & -2 & -7.5
AC = -19 & -10 & 5 -8 & -8 & -8 3 & -6 & -21 , BC = 4.166 & -1.333 & -10.5 8.333 & -2.666 & -21 12.5 & -4 & -31.5
A^2 = -5 & -2 & 1 -2 & -2 & -2 1 & -2 & -5 , B^2 = 3 & 1.5 & 1 6 & 3 & 2 9 & 4.5 & 3

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