Os conjuntos abaixo são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.)? Justifique.
(k) * S=(lll1 & 2 & 0 3 & 0 & 1 0 & 0 & 2),(rrr-1 & -1 & -1 0 & 0 & 0 1 & 1 & 1),(rrr0 & 0 & 0 10 & 5 & 7 -1 & 0 & 1), V=M3(R).

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão pede! Temos um conjunto com três matrizes 3x3 e queremos descobrir se elas são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.) no espaço . Para isso, vamos precisar entender conceitos de dependência linear e independência linear, além de saber como aplicar esses conceitos em matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa ser linearmente independente ou dependente. Um conjunto de vetores (ou matrizes, nesse caso) é linearmente independente se a única combinação linear que dá a matriz zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Caso contrário, é linearmente dependente.
Matematicamente, para nossas matrizes c1 A + c2 B + c3 C = 0 em , queremos ver se a equação:
tem apenas a solução trivial . Se existir alguma outra solução, elas são dependentes.

Passo 3

Vamos considerar cada uma das matrizes em A = 1 & 2 & 0 3 & 0 & 1 0 & 0 & 2 , B = -1 & -1 & -1 0 & 0 & 0 1 & 1 & 1 , C = 0 & 0 & 0 10 & 5 & 7 -1 & 0 & 1 :
A = (1, 2, 0, 3, 0, 1, 0, 0, 2), B = (-1, -1, -1, 0, 0, 0, 1, 1, 1), C = (0, 0, 0, 10, 5, 7, -1, 0, 1)
Para facilitar, vamos transformar cada matriz em um vetor de 9 dimensões (colocando as entradas linha a linha):

Passo 4

Agora, formamos uma matriz com esses vetores como colunas:
M = 1 & -1 & 0 2 & -1 & 0 0 & -1 & 0 3 & 0 & 10 0 & 0 & 5 1 & 0 & 7 0 & 1 & -1 0 & 1 & 0 2 & 1 & 1
Precisamos verificar se o posto dessa matriz é igual ao número de vetores (3). Se for, elas são independentes; se não, são dependentes.

Passo 5

Vamos reduzir a matriz 3 & 0 & 10 2 & -1 & 0 0 & -1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 5 1 & 0 & 7 0 & 1 & -1 0 & 1 & 0 2 & 1 & 1 para a forma escalonada usando operações elementares. Vou simplificar o processo aqui:
  1. Troque a primeira linha com a quarta para ter um pivot maior:
  1. Zere abaixo do pivot da primeira coluna:
Após essas operações, continuamos o processo até obter a forma escalonada.

Passo 6

Após realizar todas as operações, percebemos que existem combinações não triviais que satisfazem a equação . Isso significa que pelo menos uma das matrizes pode ser escrita como combinação das outras.

Resposta

As matrizes no conjunto são linearmente dependentes (L.D.).

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