Os conjuntos abaixo são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.)? Justifique.
(k) .
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão pede! Temos um conjunto com três matrizes 3x3 e queremos descobrir se elas são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.) no espaço . Para isso, vamos precisar entender conceitos de dependência linear e independência linear, além de saber como aplicar esses conceitos em matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa ser linearmente independente ou dependente. Um conjunto de vetores (ou matrizes, nesse caso) é linearmente independente se a única combinação linear que dá a matriz zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Caso contrário, é linearmente dependente.
Matematicamente, para nossas matrizes c1 A + c2 B + c3 C = 0 em , queremos ver se a equação:
tem apenas a solução trivial . Se existir alguma outra solução, elas são dependentes.
Passo 3
Vamos considerar cada uma das matrizes em A = 1 & 2 & 0 3 & 0 & 1 0 & 0 & 2 , B = -1 & -1 & -1 0 & 0 & 0 1 & 1 & 1 , C = 0 & 0 & 0 10 & 5 & 7 -1 & 0 & 1 :
Troque a primeira linha com a quarta para ter um pivot maior:
Zere abaixo do pivot da primeira coluna:
Após essas operações, continuamos o processo até obter a forma escalonada.
Passo 6
Após realizar todas as operações, percebemos que existem combinações não triviais que satisfazem a equação . Isso significa que pelo menos uma das matrizes pode ser escrita como combinação das outras.
Resposta
As matrizes no conjunto são linearmente dependentes (L.D.).