Determinar se os vetores
(e
, conforme o caso) são LI ou LD:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se os vetores
e
são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de vetores e suas dependências. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa os vetores serem LI ou LD e usar alguns métodos simples para testar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente ou dependente. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser obtido por uma combinação linear do outro. Ou seja, não existe um número escalar . Se existir tal
k
tal que
k
, então os vetores são linearmente dependentes.Passo 3
Agora, vamos tentar descobrir se existe um número para chegar em
. Ou seja, queremos ver se:
k
que multiplica
Isso significa que cada componente de
deve ser igual à componente correspondente de
multiplicada por
k
.Passo 4
Vamos escrever isso componente a componente:
-
Primeiro componente:Resolvendo para
k
: -
Segundo componente:Resolvendo para
k
: -
Terceiro componente:Resolvendo para
k
:
Passo 5
Percebemos que, para todas as três componentes, o valor de é exatamente 3 vezes
. Portanto,
pode ser obtido como uma combinação linear de
.
k
é igual a 3. Isso significa que
Resposta
Os vetores
e
são linearmente dependentes (LD), já que
é 3 vezes
.