Determinar se os vetores v1, v2 (e v3, conforme o caso) são LI ou LD:
v1=(-4,2,1) e v1=(-12,6,3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se os vetores v1=(-4,2,1) e v2=(-12,6,3) são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de vetores e suas dependências. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa os vetores serem LI ou LD e usar alguns métodos simples para testar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente ou dependente. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser obtido por uma combinação linear do outro. Ou seja, não existe um número escalar k tal que v2 = k cdot v1. Se existir tal k, então os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Agora, vamos tentar descobrir se existe um número k que multiplica v1 para chegar em v2. Ou seja, queremos ver se:
v2 = k cdot v1
Isso significa que cada componente de v2 deve ser igual à componente correspondente de v1 multiplicada por k.

Passo 4

Vamos escrever isso componente a componente:
  1. Primeiro componente:
    -12 = k cdot (-4)
    Resolvendo para k:
    k = -12-4 = 3
  2. Segundo componente:
    6 = k cdot 2
    Resolvendo para k:
    k = 62 = 3
  3. Terceiro componente:
    3 = k cdot 1
    Resolvendo para k:
    k = 3

Passo 5

Percebemos que, para todas as três componentes, o valor de k é igual a 3. Isso significa que v2 é exatamente 3 vezes v1. Portanto, v2 pode ser obtido como uma combinação linear de v1.

Resposta

Os vetores v1=(-4,2,1) e v2=(-12,6,3) são linearmente dependentes (LD), já que v2 é 3 vezes v1.

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