Determine o foco, o vértice, a equação da diretriz e esboce as parábolas cujas equações são: 3 y^2-2 y+1=0.

Passo 1

Então, a gente tem a equação 3y^2 - 2y + 1 = 0. Nosso objetivo aqui é encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e esboçar a parábola correspondente a essa equação. Para isso, vamos precisar reorganizar a equação e colocá-la na forma padrão da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar isolar os termos com y para facilitar o reconhecimento da forma da parábola. A equação está assim:
3y^2 - 2y + 1 = 0
Vamos levar o termo constante para o outro lado:
3y^2 - 2y = -1

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para a expressão 3y^2 - 2y. Para isso, primeiro fatoramos o coeficiente de y^2:
3(y^2 - 23y) = -1

Passo 4

Em seguida, completamos o quadrado dentro do parênteses. Pegamos metade do coeficiente de y, que é -23 div 2 = -13, e elevamos ao quadrado, obtendo (-13)^2 = 19. Então:
3[(y - 13)^2 - 19] = -1

Passo 5

Distribuímos o 3 dentro dos colchetes:
3(y - 13)^2 - 13 = -1

Passo 6

Agora, vamos isolar o termo quadrático:
3(y - 13)^2 = -1 + 13
3(y - 13)^2 = -23

Passo 7

Dividimos ambos os lados por 3 para simplificar:
(y - 13)^2 = -29

Passo 8

Observamos que o lado direito da equação é negativo, ou seja, (y - 13)^2 = -29. Como o quadrado de um número real nunca é negativo, essa equação não possui soluções reais. Isso significa que não existe uma parábola real associada a essa equação.

Resposta

A equação 3y^2 - 2y + 1 = 0 não representa uma parábola real, pois não há soluções reais para os valores de y que satisfazem a equação.

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