Quais dos conjuntos abaixo são linearmente indepentes (LI)? Justifique.
© [cc1 & 1 0 & -1],[cc1 & -1 1 & 0],[ll1 & 0 3 & 2] em M(2,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta quais dos conjuntos de matrizes dadas são linearmente independentes no espaço das matrizes 2x2, denotado por . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é independência linear e como aplicá-la a matrizes. Basicamente, vamos verificar se nenhuma matriz do conjunto pode ser escrita como combinação linear das outras.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma combinação linear. Para matrizes c1 A1 + c2 A2 + c3 A3 = 0 , e , uma combinação linear delas é uma expressão do tipo:
onde , e são coeficientes escalares, e é a matriz nula (com todos os elementos iguais a zero).

Passo 3

Nosso objetivo é descobrir se a única solução para essa equação é c1 1 & 1 0 & -1 + c2 1 & -1 1 & 0 + c3 1 & 0 3 & 2 = 0 & 0 0 & 0 . Se for o caso, as matrizes são linearmente independentes. Caso contrário, são dependentes. Vamos montar essa equação com as matrizes fornecidas:

Passo 4

Agora, vamos somar as matrizes multiplicadas pelos coeficientes:
c1 cdot 1 + c2 cdot 1 + c3 cdot 1 & c1 cdot 1 + c2 cdot (-1) + c3 cdot 0 c1 cdot 0 + c2 cdot 1 + c3 cdot 3 & c1 cdot (-1) + c2 cdot 0 + c3 cdot 2 = 0 & 0 0 & 0

Passo 5

Isso nos dá um sistema de equações:
c1 + c2 + c3 = 0 (do e<=mento (1,1)) c1 - c2 = 0 (do e<=mento (1,2)) c2 + 3c3 = 0 (do e<=mento (2,1)) - c1 + 2c3 = 0 (do e<=mento (2,2))

Passo 6

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da segunda equação:
c1 - c2 = 0 implies c1 = c2
Substituindo isso na terceira equação:
c2 + 3c3 = 0 implies c1 + 3c3 = 0 implies c1 = -3c3
Agora, substituindo - (-3c3) + 2c3 = 0 implies 3c3 + 2c3 = 0 implies 5c3 = 0 implies c3 = 0 na quarta equação:
c1 = -3 cdot 0 = 0 e c2 = c1 = 0
Então, . Substituindo de volta:

Passo 7

Encontramos que a única solução para o sistema é . Isso significa que nenhuma das matrizes pode ser escrita como uma combinação linear das outras. Portanto, elas são linearmente independentes.

Resposta

As matrizes fornecidas são linearmente independentes em .

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