Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta quais dos conjuntos de matrizes dadas são linearmente independentes no espaço das matrizes 2x2, denotado por . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é independência linear e como aplicá-la a matrizes. Basicamente, vamos verificar se nenhuma matriz do conjunto pode ser escrita como combinação linear das outras.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma combinação linear. Para matrizes , e , uma combinação linear delas é uma expressão do tipo:
onde , e são coeficientes escalares, e é a matriz nula (com todos os elementos iguais a zero).
Passo 3
Nosso objetivo é descobrir se a única solução para essa equação é . Se for o caso, as matrizes são linearmente independentes. Caso contrário, são dependentes. Vamos montar essa equação com as matrizes fornecidas:
Passo 4
Agora, vamos somar as matrizes multiplicadas pelos coeficientes:
Passo 5
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da segunda equação:
Encontramos que a única solução para o sistema é . Isso significa que nenhuma das matrizes pode ser escrita como uma combinação linear das outras. Portanto, elas são linearmente independentes.
Resposta
As matrizes fornecidas são linearmente independentes em .