Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora? Justificar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a imagem da transformação linear
, encontrar uma base para esse subespaço, sua dimensão e verificar se
é sobrejetora. Estamos trabalhando com transformações lineares entre espaços vetoriais, especificamente de
para
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a imagem de uma transformação linear, como encontrar uma base para ela e verificar a sobrejetividade usando conceitos de álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a imagem de
. A imagem de uma transformação linear
é o conjunto de todos os vetores em
que podem ser obtidos aplicando
a algum vetor em
. Ou seja,
Passo 3
Vamos expressar
como uma combinação linear das componentes
:
Isso mostra que a imagem de
é gerada pelos vetores
,
e
.
Passo 4
Para encontrar uma base para a imagem, precisamos identificar um conjunto de vetores linearmente independentes que geram a imagem. Vamos verificar a independência linear dos vetores
,
e
.
Observando os vetores, percebemos que
pode ser escrito como uma combinação linear de
e
:
Isso significa que
não adiciona nada de novo à geração da imagem, então podemos descartar esse vetor.
Passo 5
Portanto, os vetores
e
são suficientes para gerar a imagem e são linearmente independentes. Assim, uma base para a imagem de
é:
Passo 6
A dimensão da imagem é o número de vetores na base que acabamos de encontrar. Como temos dois vetores na base, a dimensão da imagem de
é 2.
Passo 7
Agora, para verificar se
é sobrejetora, precisamos ver se a imagem de
é igual ao espaço de chegada, que no caso é
. Como a dimensão da imagem é 2, que é igual à dimensão de
, e os vetores na base são independentes, a imagem de
preenche todo
. Portanto,
é sobrejetora.
Resposta
A imagem de
é
, uma base para esse subespaço é
, sua dimensão é 2 e
é sobrejetora.