Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora? Justificar.
T: R^3 longrightarrow R^2, T(x, y, z)=(x+2 y-z, 2 x-y+z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a imagem da transformação linear , encontrar uma base para esse subespaço, sua dimensão e verificar se é sobrejetora. Estamos trabalhando com transformações lineares entre espaços vetoriais, especificamente de para . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a imagem de uma transformação linear, como encontrar uma base para ela e verificar a sobrejetividade usando conceitos de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a imagem de Im(T) = T(x, y, z) mid (x, y, z) in R^3 . A imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a algum vetor em . Ou seja,

Passo 3

Vamos expressar T(x, y, z) = x(1, 2) + y(2, -1) + z(-1, 1) como uma combinação linear das componentes :
Isso mostra que a imagem de é gerada pelos vetores , e .

Passo 4

Para encontrar uma base para a imagem, precisamos identificar um conjunto de vetores linearmente independentes que geram a imagem. Vamos verificar a independência linear dos vetores (-1, 1) = -1 cdot (1, 2) + 1 cdot (2, -1) , e .
Observando os vetores, percebemos que pode ser escrito como uma combinação linear de e :
Isso significa que não adiciona nada de novo à geração da imagem, então podemos descartar esse vetor.

Passo 5

Portanto, os vetores , (1, 2), (2, -1) , e são suficientes para gerar a imagem e são linearmente independentes. Assim, uma base para a imagem de é:

Passo 6

A dimensão da imagem é o número de vetores na base que acabamos de encontrar. Como temos dois vetores na base, a dimensão da imagem de é 2.

Passo 7

Agora, para verificar se é sobrejetora, precisamos ver se a imagem de é igual ao espaço de chegada, que no caso é . Como a dimensão da imagem é 2, que é igual à dimensão de , e os vetores na base são independentes, a imagem de preenche todo . Portanto, é sobrejetora.

Resposta

A imagem de é , uma base para esse subespaço é , sua dimensão é 2 e é sobrejetora.

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