Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora? Justificar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre transformações lineares. Especificamente, precisamos descobrir a imagem da transformação
, encontrar uma base para esse espaço, determinar a sua dimensão e verificar se
é sobrejetora (ou seja, se cobre todo o espaço de chegada). Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como a definição de imagem de uma transformação linear, bases e dimensões de subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a imagem de uma transformação linear
. A imagem consiste em todos os vetores que podem ser obtidos aplicando
a algum vetor de
. Ou seja, queremos descrever todos os vetores
tais que existe
em
com:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema para expressar
e
em termos de
e
. Somando as duas equações:
Isso implica que
, ou seja,
.
Agora, substituindo
na primeira equação:
E na segunda:
Podemos resolver para
na primeira equação:
Então, os vetores na imagem de
têm a forma:
Isso mostra que todos os vetores da imagem são múltiplos de
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma base para a imagem. Como todos os vetores na imagem são múltiplos de
, esse vetor sozinho já gera todo o subespaço imagem. Portanto, a base é:
A dimensão da imagem é o número de vetores na base, que nesse caso é
.
Passo 5
Por fim, vamos verificar se
é sobrejetora. Uma transformação é sobrejetora se sua imagem é igual ao espaço de chegada, que aqui é
. Mas a imagem de
é um subespaço de dimensão
, ou seja, uma reta no plano, e não todo o
. Logo,
não é sobrejetora.
Resposta
A imagem de
é o conjunto de todos os vetores da forma
, ou seja:
Uma base para esse subespaço é
e sua dimensão é
. Além disso, a transformação
não é sobrejetora, pois sua imagem não cobre todo o espaço
.