Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora? Justificar.
T: R^2 longrightarrow R^2, T(x, y)=(3 x-y,-3 x+y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre transformações lineares. Especificamente, precisamos descobrir a imagem da transformação , encontrar uma base para esse espaço, determinar a sua dimensão e verificar se é sobrejetora (ou seja, se cobre todo o espaço de chegada). Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como a definição de imagem de uma transformação linear, bases e dimensões de subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a imagem de uma transformação linear T(x, y) = (3x - y, -3x + y) = (a, b) . A imagem consiste em todos os vetores que podem ser obtidos aplicando 3x - y = a -3x + y = b a algum vetor de . Ou seja, queremos descrever todos os vetores tais que existe em com:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema para expressar (3x - y) + (-3x + y) = a + b 0 = a + b e 3x - y = a em termos de -3x + y = -a e y = 3x - a . Somando as duas equações:
(a, b) = (a, -a)
Isso implica que , ou seja, .
Agora, substituindo na primeira equação:
E na segunda:
Podemos resolver para na primeira equação:
Então, os vetores na imagem de têm a forma:
Isso mostra que todos os vetores da imagem são múltiplos de .

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma base para a imagem. Como todos os vetores na imagem são múltiplos de , (1, -1) , , esse vetor sozinho já gera todo o subespaço imagem. Portanto, a base é:
A dimensão da imagem é o número de vetores na base, que nesse caso é .

Passo 5

Por fim, vamos verificar se é sobrejetora. Uma transformação é sobrejetora se sua imagem é igual ao espaço de chegada, que aqui é . Mas a imagem de é um subespaço de dimensão , ou seja, uma reta no plano, e não todo o . Logo, não é sobrejetora.

Resposta

A imagem de Im(T) = , (a, -a) mid a in R , é o conjunto de todos os vetores da forma , ou seja:
Uma base para esse subespaço é e sua dimensão é . Além disso, a transformação não é sobrejetora, pois sua imagem não cobre todo o espaço .

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