Quais dos conjuntos abaixo são linearmente indepentes (LI)? Justifique.
(d) [cc1 & -1 3 & 3],[cc-1 & 3 1 & 5],[cc2 & -3 4 & 2] em M(2,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de linearidade de conjuntos de matrizes! O enunciado pede para verificar se um conjunto de três matrizes 2x2 é linearmente independente no espaço das matrizes 2x2, que a gente chama de . Para isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores (ou matrizes) ser linearmente independente e como a gente pode testar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é linearmente independente. Um conjunto de matrizes é linearmente independente se a única combinação linear que dá a matriz zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se a gente tiver uma combinação como e a única solução é , então as matrizes , e são linearmente independentes.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso às matrizes que o enunciado nos deu. Vamos chamar as matrizes de A = 1 & -1 3 & 3, B = -1 & 3 1 & 5, C = 2 & -3 4 & 2 , aA + bB + cC = 0 & 0 0 & 0 e :
Queremos encontrar valores de , e que satisfazem:

Passo 4

Vamos fazer essa combinação explícita:
a 1 & -1 3 & 3 + b -1 & 3 1 & 5 + c 2 & -3 4 & 2 = 0 & 0 0 & 0
Isso nos dá um sistema de equações para os elementos de cada posição da matriz:
a(1) + b(-1) + c(2) = 0 a(-1) + b(3) + c(-3) = 0 a(3) + b(1) + c(4) = 0 a(3) + b(5) + c(2) = 0

Passo 5

Vamos resolver esse sistema. Primeiro, escrevendo de forma mais simples:
a - b + 2c = 0 (1) - a + 3b - 3c = 0 (2) 3a + b + 4c = 0 (3) 3a + 5b + 2c = 0 (4)
Podemos usar o método da substituição ou eliminação. Vamos somar as equações (1) e (2):
(a - b + 2c) + (-a + 3b - 3c) = 0 + 0 2b - c = 0 Rightarrow c = 2b (5)

Passo 6

Agora, substituímos a - b + 2(2b) = 0 a - b + 4b = 0 a + 3b = 0 Rightarrow a = -3b (6) na equação (1):

Passo 7

Com 3(-3b) + b + 4(2b) = 0 -9b + b + 8b = 0 0 = 0 e 3(-3b) + 5b + 2(2b) = 0 -9b + 5b + 4b = 0 0 = 0 , vamos substituir na equação (3):
Isso nos diz que essa equação não adiciona nova informação. Vamos verificar na equação (4):
Também não traz informação adicional. Isso significa que as soluções são parametrizadas por .

Passo 8

Então, temos:
a = -3b c = 2b
Isso significa que existem infinitas soluções para o sistema além da trivial ( ). Por exemplo, se , então e , e assim por diante.

Resposta

O conjunto de matrizes é linearmente dependente.

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