Quais dos conjuntos abaixo são linearmente indepentes (LI)? Justifique.
(e) t+1, t-1 em P1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para saber se o conjunto t+1, t-1 é linearmente independente no espaço das polinômios de grau no máximo 1, que chamamos de P1. Para resolver isso, precisamos entender o que significa ser linearmente independente e aplicar isso aos polinômios dados.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma combinação linear. Dizemos que um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) é linearmente independente se a única maneira de combinar esses vetores com coeficientes que resulta no vetor zero é escolhendo todos os coeficientes iguais a zero. Ou seja, queremos ver se a única solução para a equação
a(t + 1) + b(t - 1) = 0
é e .

Passo 3

Agora, vamos expandir a expressão:
a(t + 1) + b(t - 1) = at + a + bt - b
Juntando os termos semelhantes, fica:
(a + b)t + (a - b) = 0
Como isso deve ser igual a zero para todo valor de a + b = 0 a - b = 0 , os coeficientes de e do termo constante devem ser iguais a zero. Ou seja, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Somando as duas equações:
(a + b) + (a - b) = 0 + 0
2a = 0
a = 0
Substituindo 0 + b = 0 na primeira equação:
b = 0

Passo 5

Encontramos que a única solução para o sistema é e . Isso significa que a única combinação linear que resulta no polinômio zero é quando ambos os coeficientes são zero.

Resposta

O conjunto t+1, t-1 é linearmente independente em P1.

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