Quais dos conjuntos abaixo são linearmente indepentes (LI)? Justifique.
(e) em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para saber se o conjunto é linearmente independente no espaço das polinômios de grau no máximo 1, que chamamos de . Para resolver isso, precisamos entender o que significa ser linearmente independente e aplicar isso aos polinômios dados.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma combinação linear. Dizemos que um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) é linearmente independente se a única maneira de combinar esses vetores com coeficientes que resulta no vetor zero é escolhendo todos os coeficientes iguais a zero. Ou seja, queremos ver se a única solução para a equação
é e .

Passo 3

Agora, vamos expandir a expressão:
Juntando os termos semelhantes, fica:
Como isso deve ser igual a zero para todo valor de , os coeficientes de e do termo constante devem ser iguais a zero. Ou seja, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Passo 5

Encontramos que a única solução para o sistema é e . Isso significa que a única combinação linear que resulta no polinômio zero é quando ambos os coeficientes são zero.

Resposta

O conjunto é linearmente independente em .

Exercícios relacionados

Determine se o terno ordenado dado é uma solução do sistema linear
(b)
Seja o espaço vetorial de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 com coeficientes reais.
(a) Mostre que .
  • Encontre condições sobre e de modo que o vetor seja combinação linear de e .
Determinar uma base e a dimensão dos seguintes subespaços do :
Todos os vetores da forma em que e .