Quais dos conjuntos abaixo são linearmente indepentes (LI)? Justifique.
(e)
em
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para saber se o conjunto
é linearmente independente no espaço das polinômios de grau no máximo 1, que chamamos de
. Para resolver isso, precisamos entender o que significa ser linearmente independente e aplicar isso aos polinômios dados.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma combinação linear. Dizemos que um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) é linearmente independente se a única maneira de combinar esses vetores com coeficientes que resulta no vetor zero é escolhendo todos os coeficientes iguais a zero. Ou seja, queremos ver se a única solução para a equação
é
e
.
Passo 3
Agora, vamos expandir a expressão:
Juntando os termos semelhantes, fica:
Como isso deve ser igual a zero para todo valor de
, os coeficientes de
e do termo constante devem ser iguais a zero. Ou seja, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 5
Encontramos que a única solução para o sistema é
e
. Isso significa que a única combinação linear que resulta no polinômio zero é quando ambos os coeficientes são zero.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente em
.
Exercícios relacionados
Determine se o terno ordenado dado é uma solução do sistema linear
(b)
Seja
o espaço vetorial de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 com coeficientes reais.
(a) Mostre que .
(a) Mostre que
- Encontre condições sobre
e de modo que o vetor seja combinação linear de e .
Determinar uma base e a dimensão dos seguintes subespaços do
:
Todos os vetores da forma em que
e
.
Todos os vetores da forma