Seja
o espaço vetorial de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 com coeficientes reais.
(a) Mostre que
.
(a) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o espaço vetorial
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 com coeficientes reais, é igual ao conjunto formado por
. Ou seja, queremos provar que qualquer polinômio de grau até 2 pode ser escrito como uma combinação desses três polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, combinação linear e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
. Isso quer dizer que qualquer polinômio
em
pode ser expresso como:
onde
,
e
são números reais.
Passo 3
Para mostrar isso, precisamos provar duas coisas:
- Geração (ou “span”): Todos os polinômios em
podem ser escritos como uma combinação linear de , e . - Independência Linear: Os polinômios
, e são linearmente independentes, ou seja, nenhum deles pode ser escrito como uma combinação dos outros.
Passo 4
1. Mostrando a Geração:
Vamos pegar um polinômio genérico em
:
Queremos encontrar números reais
,
e
tais que:
Explicando:
significa que multiplicamos
por cada termo dentro do parêntese, e o mesmo vale para os outros termos.
Passo 5
Vamos expandir o lado direito da igualdade:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da igualdade:
- Para o termo constante:
- Para o termo com
: - Para o termo com
:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
,
e
em termos de
,
e
.
Primeiro, somamos as duas primeiras equações:
Em seguida, subtraímos a segunda equação da primeira:
E já temos que
.
Passo 8
Portanto, para qualquer polinômio
em
, podemos encontrar
,
e
que satisfazem a igualdade:
Isso mostra que os polinômios
,
e
geram
.
Passo 9
2. Mostrando a Independência Linear:
Precisamos verificar se a única solução para a equação
é
.
Vamos expandir:
Agrupando termos:
Para essa igualdade ser válida para todo
, os coeficientes de cada termo devem ser zero:
Da primeira equação,
. Da segunda,
. A única solução que satisfaz ambas é
. E já temos de
.
Passo 10
Como a única solução é
, isso significa que os polinômios
,
e
são linearmente independentes.
Resposta
Portanto, mostramos que qualquer polinômio em
pode ser escrito como uma combinação linear de
,
e
, e que esses polinômios são linearmente independentes. Logo,
.
Exercícios relacionados
- Sejam os vetores
e em :
(b) O vetorpode ser escrito como combinação linear de e ? Justifique.
Em cada um dos problemas indique se o sistema é compatível (determinado ou indeterminado) ou incompatível, para isto, encontre a solução usando comparação, adição ou substituição (se tiver dúvidas pode consultar o seguinte link: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares .
Determine se o terno ordenado dado é uma solução do sistema linear
(b)
Quais dos conjuntos abaixo são linearmente indepentes (LI)? Justifique.
(e) em
.
(e)