Seja P2 o espaço vetorial de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 com coeficientes reais.
(a) Mostre que P2=[1+t, 1-t, t^2].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o espaço vetorial P2, que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 com coeficientes reais, é igual ao conjunto formado por [1 + t, 1 - t, t^2]. Ou seja, queremos provar que qualquer polinômio de grau até 2 pode ser escrito como uma combinação desses três polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, combinação linear e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que P2 = [1 + t, 1 - t, t^2]. Isso quer dizer que qualquer polinômio p(t) em P2 pode ser expresso como:
p(t) = a(1 + t) + b(1 - t) + c t^2
onde a, b e c são números reais.

Passo 3

Para mostrar isso, precisamos provar duas coisas:
  1. Geração (ou “span”): Todos os polinômios em P2 podem ser escritos como uma combinação linear de 1 + t, 1 - t e t^2.
  2. Independência Linear: Os polinômios 1 + t, 1 - t e t^2 são linearmente independentes, ou seja, nenhum deles pode ser escrito como uma combinação dos outros.

Passo 4

1. Mostrando a Geração:
Vamos pegar um polinômio genérico em P2:
p(t) = alpha + beta t + gamma t^2
Queremos encontrar números reais a, b e c tais que:
alpha + beta t + gamma t^2 = a(1 + t) + b(1 - t) + c t^2
Explicando: a(1 + t) significa que multiplicamos a por cada termo dentro do parêntese, e o mesmo vale para os outros termos.

Passo 5

Vamos expandir o lado direito da igualdade:
a(1 + t) + b(1 - t) + c t^2 = a + a t + b + (-b) t + c t^2
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(a + b) + (a - b) t + c t^2

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da igualdade:
  • Para o termo constante: a + b = alpha
  • Para o termo com t: a - b = beta
  • Para o termo com t^2: c = gamma

Passo 7

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar a, b e c em termos de alpha, beta e gamma.
Primeiro, somamos as duas primeiras equações:
(a + b) + (a - b) = alpha + beta 2a = alpha + beta a = alpha + beta2
Em seguida, subtraímos a segunda equação da primeira:
(a + b) - (a - b) = alpha - beta 2b = alpha - beta b = alpha - beta2
E já temos que c = gamma.

Passo 8

Portanto, para qualquer polinômio p(t) = alpha + beta t + gamma t^2 em P2, podemos encontrar a, b e c que satisfazem a igualdade:
p(t) = alpha + beta2(1 + t) + alpha - beta2(1 - t) + gamma t^2
Isso mostra que os polinômios 1 + t, 1 - t e t^2 geram P2.

Passo 9

2. Mostrando a Independência Linear:
Precisamos verificar se a única solução para a equação
a(1 + t) + b(1 - t) + c t^2 = 0
é a = b = c = 0.
Vamos expandir:
a + a t + b - b t + c t^2 = 0
Agrupando termos:
(a + b) + (a - b) t + c t^2 = 0
Para essa igualdade ser válida para todo t, os coeficientes de cada termo devem ser zero:
  • a + b = 0
  • a - b = 0
  • c = 0
Da primeira equação, a = -b. Da segunda, a = b. A única solução que satisfaz ambas é a = b = 0. E já temos de c = 0.

Passo 10

Como a única solução é a = b = c = 0, isso significa que os polinômios 1 + t, 1 - t e t^2 são linearmente independentes.

Resposta

Portanto, mostramos que qualquer polinômio em P2 pode ser escrito como uma combinação linear de 1 + t, 1 - t e t^2, e que esses polinômios são linearmente independentes. Logo, P2 = [1 + t, 1 - t, t^2].

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