Seja o espaço vetorial de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 com coeficientes reais.
(a) Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 com coeficientes reais, é igual ao conjunto formado por . Ou seja, queremos provar que qualquer polinômio de grau até 2 pode ser escrito como uma combinação desses três polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, combinação linear e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que . Isso quer dizer que qualquer polinômio em pode ser expresso como:
onde , e são números reais.

Passo 3

Para mostrar isso, precisamos provar duas coisas:
  1. Geração (ou “span”): Todos os polinômios em podem ser escritos como uma combinação linear de , e .
  2. Independência Linear: Os polinômios , e são linearmente independentes, ou seja, nenhum deles pode ser escrito como uma combinação dos outros.

Passo 4

1. Mostrando a Geração:
Vamos pegar um polinômio genérico em :
Queremos encontrar números reais , e tais que:
Explicando: significa que multiplicamos por cada termo dentro do parêntese, e o mesmo vale para os outros termos.

Passo 5

Vamos expandir o lado direito da igualdade:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da igualdade:
  • Para o termo constante:
  • Para o termo com :
  • Para o termo com :

Passo 7

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar , e em termos de , e .
Primeiro, somamos as duas primeiras equações:
Em seguida, subtraímos a segunda equação da primeira:
E já temos que .

Passo 8

Portanto, para qualquer polinômio em , podemos encontrar , e que satisfazem a igualdade:
Isso mostra que os polinômios , e geram .

Passo 9

2. Mostrando a Independência Linear:
Precisamos verificar se a única solução para a equação
é .
Vamos expandir:
Agrupando termos:
Para essa igualdade ser válida para todo , os coeficientes de cada termo devem ser zero:
Da primeira equação, . Da segunda, . A única solução que satisfaz ambas é . E já temos de .

Passo 10

Como a única solução é , isso significa que os polinômios , e são linearmente independentes.

Resposta

Portanto, mostramos que qualquer polinômio em pode ser escrito como uma combinação linear de , e , e que esses polinômios são linearmente independentes. Logo, .

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(e) em .