Os conjuntos abaixo são subconjuntos do
. Verificar quais são subespaços vetoriais do
.
(a)
e
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre conjuntos que são subconjuntos de
, que é o espaço tridimensional que a gente usa para representar pontos com três coordenadas:
,
e
. A gente precisa verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos lembrar o que define um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as propriedades que
precisa satisfazer para ser um subespaço vetorial:
- Contém o vetor zero: O vetor
precisa estar em . - Fechado na adição: Se você pegar dois vetores em
e somar, o resultado também precisa estar em . - Fechado na multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor em
e multiplicar por qualquer número real, o resultado também precisa estar em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
Vamos ver se
está em
.
Temos
e
.
Substituindo
, temos
.
E
.
Então,
está em
. Essa primeira condição está OK!
Passo 4
2. Fechado na adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
:
Vamos somar esses dois vetores:
Agora, precisamos verificar se
.
Como
e
, então:
Então,
também satisfaz
e
. Portanto,
é fechado na adição!
Passo 5
3. Fechado na multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em
:
Agora, vamos multiplicar esse vetor por um escalar
:
Precisamos verificar se
.
Como
, então:
Assim,
também satisfaz
e
. Portanto,
é fechado na multiplicação por escalar!
Resposta
O conjunto
é um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
No espaço
consideremos o produto interno
. Calcular
quando
. Repita o exercício com
.
a) Considere
. Encnotre, caso exista,
tal que
e
sejam ortogonais.
Sejam
una transformação linear e
seus autovalores. Sabendo que
e
são os correspondentes autovetores, obtenha a matriz associada a
.
Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de
.
(e)
(e)