Os conjuntos abaixo são subconjuntos do R^3. Verificar quais são subespaços vetoriais do R^3.
(a) S=(x, y, z) mid x=4 y e z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre conjuntos que são subconjuntos de , que é o espaço tridimensional que a gente usa para representar pontos com três coordenadas: , e . A gente precisa verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos lembrar o que define um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as propriedades que precisa satisfazer para ser um subespaço vetorial:
  1. Contém o vetor zero: O vetor precisa estar em .
  2. Fechado na adição: Se você pegar dois vetores em e somar, o resultado também precisa estar em .
  3. Fechado na multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor em e multiplicar por qualquer número real, o resultado também precisa estar em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades.

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
Vamos ver se está em .
Temos e .
Substituindo , temos .
E .
Então, está em . Essa primeira condição está OK!

Passo 4

2. Fechado na adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em u &= (x1, y1, 0) onde x1 = 4y1 v &= (x2, y2, 0) onde x2 = 4y2 :
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, 0 + 0) = (x1 + x2, y1 + y2, 0)
Vamos somar esses dois vetores:
x1 + x2 = 4y1 + 4y2 = 4(y1 + y2)
Agora, precisamos verificar se .
Como e , então:
Então, também satisfaz e . Portanto, é fechado na adição!

Passo 5

3. Fechado na multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em u = (x, y, 0) onde x = 4y :
k u = (k x, k y, k times 0) = (k x, k y, 0)
Agora, vamos multiplicar esse vetor por um escalar k x = k times 4y = 4(k y) :
Precisamos verificar se .
Como , então:
Assim, também satisfaz e . Portanto, é fechado na multiplicação por escalar!

Resposta

O conjunto é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados