a) Considere
. Encnotre, caso exista,
tal que
e
sejam ortogonais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre produtos internos de funções, onde temos
. Queremos encontrar um número real
tal que as funções
e
sejam ortogonais. Isso significa que o produto interno delas deve ser igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser ortogonais no contexto de funções. Duas funções são ortogonais se o produto interno delas for zero. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos calcular essa integral. Vamos expandir o integrando:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos calcular cada integral separadamente:
e
Passo 5
Substituindo de volta na equação:
Agora, vamos resolver para
.
Passo 6
Isolando
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
O valor de
que torna
e
ortogonais é
.