a) Considere
. Encnotre, caso exista,
tal que
e
sejam ortogonais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre produtos internos de funções, onde temos
. Queremos encontrar um número real
tal que as funções
e
sejam ortogonais. Isso significa que o produto interno delas deve ser igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser ortogonais no contexto de funções. Duas funções são ortogonais se o produto interno delas for zero. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos calcular essa integral. Vamos expandir o integrando:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos calcular cada integral separadamente:
e
Passo 5
Substituindo de volta na equação:
Agora, vamos resolver para
.
Passo 6
Isolando
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
O valor de
que torna
e
ortogonais é
.
Exercícios relacionados
Considere a matriz
.
a) Encontre os autovalores de ;
a) Encontre os autovalores de
Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas
). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas
, das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
© Esboce a curva no sistema de coordenadas .
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas
© Esboce a curva no sistema de coordenadas
No espaço
consideremos o produto interno
. Calcular
quando
. Repita o exercício com
.
Os conjuntos abaixo são subconjuntos do
. Verificar quais são subespaços vetoriais do
.
(a) e
(a)