a) Considere . Encnotre, caso exista, tal que e sejam ortogonais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre produtos internos de funções, onde temos . Queremos encontrar um número real tal que as funções e sejam ortogonais. Isso significa que o produto interno delas deve ser igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser ortogonais no contexto de funções. Duas funções são ortogonais se o produto interno delas for zero. Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos calcular essa integral. Vamos expandir o integrando:
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente:
e

Passo 5

Substituindo de volta na equação:
Agora, vamos resolver para .

Passo 6

Isolando :
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

O valor de que torna e ortogonais é .

Exercícios relacionados

Considere a matriz .
a) Encontre os autovalores de ;
Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas ). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas , das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
© Esboce a curva no sistema de coordenadas .
No espaço consideremos o produto interno . Calcular quando . Repita o exercício com .
Os conjuntos abaixo são subconjuntos do . Verificar quais são subespaços vetoriais do .
(a) e