a) Considere lang<= f(x), g(x)rang<==integral0^1 f(x) g(x) d x. Encnotre, caso exista, k in R tal que f(x)=x+k e g(x)=x^2 sejam ortogonais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre produtos internos de funções, onde temos lang<= f(x), g(x)rang<= = integral0^1 f(x) g(x) dx. Queremos encontrar um número real k tal que as funções f(x) = x + k e g(x) = x^2 sejam ortogonais. Isso significa que o produto interno delas deve ser igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser ortogonais no contexto de funções. Duas funções são ortogonais se o produto interno delas for zero. Ou seja:
lang<= f(x), g(x)rang<= = integral0^1 (x + k) x^2 dx = 0

Passo 3

Agora, vamos calcular essa integral. Vamos expandir o integrando:
(x + k) x^2 = x^3 + k x^2
Então, a integral fica:
integral0^1 x^3 + k x^2 dx = integral0^1 x^3 dx + k integral0^1 x^2 dx

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente:
integral0^1 x^3 dx = [ x^44 ]0^1 = 14 - 0 = 14
e
integral0^1 x^2 dx = [ x^33 ]0^1 = 13 - 0 = 13

Passo 5

Substituindo de volta na equação:
14 + k cdot 13 = 0
Agora, vamos resolver para k.

Passo 6

Isolando k:
k cdot 13 = -14
Multiplicando ambos os lados por 3:
k = -14 cdot 3 = -34

Resposta

O valor de k que torna f(x) = x + k e g(x) = x^2 ortogonais é k = -dfrac34.

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