No espaço V=P3(R) consideremos o produto interno lang<= f(t), g(t)rang<==integral0^1 f(t) g(t) d t. Calcular lang<= f(t), g(t)rang<=,|f(t)|,|g(t)| e|f(t)+g(t)| quando f(t)=t^3-t-1, e g(t)=t^2+1. Repita o exercício com f(t)=2 eg(t)=t^3+t+1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com espaços vetoriais de polinômios, especificamente de grau até 3, e com um produto interno definido por uma integral de 0 a 1. O que precisamos fazer é calcular o produto interno entre dois polinômios, as normas desses polinômios e a norma da soma deles. Para isso, vamos precisar entender como funciona essa integração para calcular o produto interno e, a partir daí, as normas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o produto interno. No nosso caso, o produto interno entre dois polinômios lang<= f(t), g(t) rang<= = integral0^1 f(t) cdot g(t) , dt e é dado por:
Isso nos dá um número que mede como os dois polinômios “se relacionam” dentro desse espaço.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto interno entre lang<= f(t), g(t) rang<= = integral0^1 (t^3 - t - 1)(t^2 + 1) , dt e (t^3 - t - 1)(t^2 + 1) = t^5 + t^3 - t^3 - t - t^2 - 1 = t^5 - t^2 - t - 1 :
integral0^1 (t^5 - t^2 - t - 1) , dt = [ t^66 - t^33 - t^22 - t ]0^1
Vamos expandir o polinômio dentro da integral:
( 16 - 13 - 12 - 1 ) - ( 0 - 0 - 0 - 0 ) = 16 - 26 - 36 - 66 = -106 = -53
Então, a integral fica:
Calculando de 0 a 1:
Portanto, o produto interno é .

Passo 4

Agora, vamos calcular as normas dos polinômios |f(t)| = raizlang<= f(t), f(t) rang<= = raizintegral0^1 f(t)^2 , dt e |f(t)| = raizintegral0^1 (t^3 - t - 1)^2 , dt . A norma de um polinômio (t^3 - t - 1)^2 = t^6 - 2t^4 - 2t^3 + t^2 + 2t + 1 é dada por:
integral0^1 (t^6 - 2t^4 - 2t^3 + t^2 + 2t + 1) , dt = [ t^77 - 2t^55 - 2t^44 + t^33 + t^2 + t ]0^1
Vamos começar com 17 - 25 - 12 + 13 + 1 + 1 = 17 - 25 - 12 + 13 + 2 approx 1.8333 :
Expandindo:
Integrando:
Calculando:
Então, a norma de é aproximadamente .

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma de |g(t)| = raizintegral0^1 (t^2 + 1)^2 , dt :
(t^2 + 1)^2 = t^4 + 2t^2 + 1
Expandindo:
integral0^1 (t^4 + 2t^2 + 1) , dt = [ t^55 + 2t^33 + t ]0^1 = 15 + 23 + 1 = 15 + 23 + 1 = 315 + 1015 + 1515 = 2815 approx 1.8667
Integrando:
Então, a norma de é aproximadamente .

Passo 6

Agora, vamos calcular a norma da soma dos polinômios |f(t) + g(t)| = raizintegral0^1 (t^3 + t^2 - t)^2 , dt :
(t^3 + t^2 - t)^2 = t^6 + 2t^5 - t^4 + t^4 + 2t^3 - 2t^2 + t^2 - 2t + t^2 = t^6 + 2t^5 + 0t^4 + 2t^3 + 0t^2 - 2t
Expandindo:
integral0^1 (t^6 + 2t^5 + 0t^4 + 2t^3 + 0t^2 - 2t) , dt = [ t^77 + 2t^66 + 0 + 2t^44 + 0 - 2t^22 ]0^1 = 17 + 13 + 12 - 1 approx -0.0238
Integrando:
(t^3 + t^2 - t)^2 = t^6 + 2t^5 + t^4 - 2t^4 - 2t^3 + t^2 = t^6 + 2t^5 - t^4 - 2t^3 + t^2
Como o resultado da integral deu negativo, mas a norma não pode ser negativa, percebemos que houve um erro na expansão. Vamos refazer:
integral0^1 (t^6 + 2t^5 - t^4 - 2t^3 + t^2) , dt = 17 + 26 - 15 - 24 + 13 = 17 + 13 - 15 - 12 + 13 = approx 0.2857
Agora, integrando corretamente:
Então, a norma da soma é .

Passo 7

Vamos refazer os cálculos com novos polinômios: e . O processo é o mesmo: calcular o produto interno, as normas individuais e a norma da soma.

Passo 8

Primeiro, o produto interno:
lang<= f(t), g(t) rang<= = integral0^1 (2t^3 + t + 1)(t^3 + t + 1) , dt
Expandindo:
(2t^3 + t + 1)(t^3 + t + 1) = 2t^6 + 2t^4 + 2t^3 + t^4 + t^2 + t + t^3 + t + 1 = 2t^6 + 3t^4 + 3t^3 + t^2 + 2t + 1
Integrando:
integral0^1 (2t^6 + 3t^4 + 3t^3 + t^2 + 2t + 1) , dt = 27 + 35 + 34 + 13 + 1 + 1 = approx 4.1333
Portanto, o produto interno é aproximadamente .

Passo 9

Agora, as normas individuais. Primeiro, |f(t)| = raizintegral0^1 (2t^3 + t + 1)^2 , dt :
(2t^3 + t + 1)^2 = 4t^6 + 4t^4 + 4t^3 + t^2 + 2t + 1
Expandindo:
integral0^1 (4t^6 + 4t^4 + 4t^3 + t^2 + 2t + 1) , dt = 47 + 45 + 1 + 13 + 1 + 1 = approx 4.01905
Integrando:
Então, .

Passo 10

Agora, |g(t)| = raizintegral0^1 (t^3 + t + 1)^2 , dt :
(t^3 + t + 1)^2 = t^6 + 2t^4 + 2t^3 + t^2 + 2t + 1
Expandindo:
integral0^1 (t^6 + 2t^4 + 2t^3 + t^2 + 2t + 1) , dt = 17 + 25 + 24 + 13 + 1 + 1 = approx 3.0952
Integrando:
Então, .

Passo 11

Finalmente, a norma da soma |f(t) + g(t)| = raizintegral0^1 (3t^3 + 2t + 2)^2 , dt :
(3t^3 + 2t + 2)^2 = 9t^6 + 12t^4 + 12t^3 + 4t^2 + 8t + 4
Expandindo:
integral0^1 (9t^6 + 12t^4 + 12t^3 + 4t^2 + 8t + 4) , dt = 97 + 125 + 3 + 43 + 4 + 4 = approx 15.7857
Integrando:
Então, .

Resposta

Para os polinômios lang<= f(t), g(t) rang<= approx 4.1333, |f(t)| approx 2.005, |g(t)| approx 1.757, |f(t) + g(t)| approx 3.9769 e :

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