No espaço consideremos o produto interno . Calcular quando . Repita o exercício com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com espaços vetoriais de polinômios, especificamente de grau até 3, e com um produto interno definido por uma integral de 0 a 1. O que precisamos fazer é calcular o produto interno entre dois polinômios, as normas desses polinômios e a norma da soma deles. Para isso, vamos precisar entender como funciona essa integração para calcular o produto interno e, a partir daí, as normas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o produto interno. No nosso caso, o produto interno entre dois polinômios e é dado por:
Isso nos dá um número que mede como os dois polinômios “se relacionam” dentro desse espaço.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto interno entre e :
Vamos expandir o polinômio dentro da integral:
Então, a integral fica:
Calculando de 0 a 1:
Portanto, o produto interno é .

Passo 4

Agora, vamos calcular as normas dos polinômios e . A norma de um polinômio é dada por:
Vamos começar com :
Expandindo:
Integrando:
Calculando:
Então, a norma de é aproximadamente .

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma de :
Expandindo:
Integrando:
Então, a norma de é aproximadamente .

Passo 6

Agora, vamos calcular a norma da soma dos polinômios :
Expandindo:
Integrando:
Como o resultado da integral deu negativo, mas a norma não pode ser negativa, percebemos que houve um erro na expansão. Vamos refazer:
Agora, integrando corretamente:
Então, a norma da soma é .

Passo 7

Vamos refazer os cálculos com novos polinômios: e . O processo é o mesmo: calcular o produto interno, as normas individuais e a norma da soma.

Passo 8

Primeiro, o produto interno:
Expandindo:
Integrando:
Portanto, o produto interno é aproximadamente .

Passo 9

Agora, as normas individuais. Primeiro, :
Expandindo:
Integrando:
Então, .

Passo 10

Agora, :
Expandindo:
Integrando:
Então, .

Passo 11

Finalmente, a norma da soma :
Expandindo:
Integrando:
Então, .

Resposta

Para os polinômios e :

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