No espaço
consideremos o produto interno
. Calcular
quando
. Repita o exercício com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com espaços vetoriais de polinômios, especificamente de grau até 3, e com um produto interno definido por uma integral de 0 a 1. O que precisamos fazer é calcular o produto interno entre dois polinômios, as normas desses polinômios e a norma da soma deles. Para isso, vamos precisar entender como funciona essa integração para calcular o produto interno e, a partir daí, as normas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o produto interno. No nosso caso, o produto interno entre dois polinômios
e
é dado por:
Isso nos dá um número que mede como os dois polinômios “se relacionam” dentro desse espaço.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto interno entre
e
:
Vamos expandir o polinômio dentro da integral:
Então, a integral fica:
Calculando de 0 a 1:
Portanto, o produto interno é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as normas dos polinômios
e
. A norma de um polinômio
é dada por:
Vamos começar com
:
Expandindo:
Integrando:
Calculando:
Então, a norma de
é aproximadamente
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a norma de
:
Expandindo:
Integrando:
Então, a norma de
é aproximadamente
.
Passo 6
Agora, vamos calcular a norma da soma dos polinômios
:
Expandindo:
Integrando:
Como o resultado da integral deu negativo, mas a norma não pode ser negativa, percebemos que houve um erro na expansão. Vamos refazer:
Agora, integrando corretamente:
Então, a norma da soma é
.
Passo 7
Vamos refazer os cálculos com novos polinômios:
e
. O processo é o mesmo: calcular o produto interno, as normas individuais e a norma da soma.
Passo 8
Primeiro, o produto interno:
Expandindo:
Integrando:
Portanto, o produto interno é aproximadamente
.
Passo 9
Agora, as normas individuais. Primeiro,
:
Expandindo:
Integrando:
Então,
.
Passo 10
Agora,
:
Expandindo:
Integrando:
Então,
.
Passo 11
Finalmente, a norma da soma
:
Expandindo:
Integrando:
Então,
.
Resposta
Para os polinômios
e
:
Exercícios relacionados
a) Considere
. Encnotre, caso exista,
tal que
e
sejam ortogonais.
Considere a matriz
.
a) Encontre os autovalores de ;
a) Encontre os autovalores de
Os conjuntos abaixo são subconjuntos do
. Verificar quais são subespaços vetoriais do
.
(a) e
(a)
Sejam
una transformação linear e
seus autovalores. Sabendo que
e
são os correspondentes autovetores, obtenha a matriz associada a
.