Quais dos conjuntos abaixo são subespaços de
P3(R)=p(x)=a0+a1 x+a2 x^2+a3 x^3 / a0, a1, a2, a3 in R
ll NAO & I- T=p in P3(R) / p possui pelo menos uma raíz real sim & II- V=p in P3(R) / p(0)+p(1)=0 & p(x)=x+1 in T & q(x)=x^2-x in T,(p+q)(x)=x^2+1 not & yí
III- V=p in P3(R) / p(0)=0 (feito em aula)
NAU IV- U=p in P3(R) / grau de p é par . fuito em aula
A. I e II
B. I e IV
C. II e III
D. II, III e IV
E. II e IV
F. III e IV
G. I, II e IV
H. I, II e III

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar quais dos conjuntos apresentados são subespaços de , que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 3 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar cada conjunto dado para ver se ele satisfaz as condições necessárias.

Passo 2

Primeiro, o que é um subespaço vetorial? É um conjunto de vetores (neste caso, polinômios) que satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero (no nosso caso, o polinômio zero).
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois polinômios no conjunto e somar eles, o resultado também está no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um polinômio no conjunto e multiplicar por um número real, o resultado também está no conjunto.
Vamos aplicar essas condições para cada conjunto dado no exercício.

Passo 3

Conjunto I: possui pelo menos uma raiz real }
  • Verificando o vetor zero: O polinômio zero tem todas as raízes reais, então está em .
  • Fechamento sob adição: Vamos ver dois polinômios em . Por exemplo, (que tem a raiz ) e (que tem as raízes e ). A soma deles é . Esse novo polinômio não tem raízes reais, já que não tem solução no conjunto dos reais. Então, não é fechado sob adição.
  • Conclusão: não é um subespaço.

Passo 4

Conjunto II:
  • Verificando o vetor zero: satisfaz , então está em .
  • Fechamento sob adição: Se e estão em , então e . A soma tem , então está em .
  • Fechamento sob multiplicação por escalar: Se está em e é um real, então , então está em .
  • Conclusão: é um subespaço.

Passo 5

Conjunto III:
  • Verificando o vetor zero: satisfaz , então está em .
  • Fechamento sob adição: Se e estão em , então e . A soma tem , então está em .
  • Fechamento sob multiplicação por escalar: Se está em e é um real, então , então está em .
  • Conclusão: é um subespaço.

Passo 6

Conjunto IV: grau de é par
  • Verificando o vetor zero: O polinômio zero pode ser considerado de grau indefinido, mas geralmente não é considerado de grau par. Contudo, para os propósitos de subespaço, precisamos ver se ele está ou não.
  • Fechamento sob adição: Mesmo que consideremos que o polinômio zero está em , se pegarmos dois polinômios com grau par, a soma deles pode ter grau ímpar. Por exemplo, (grau 2) e (grau 2). A soma ainda é grau 2, mas se tiver outro exemplo onde a soma resulta em grau ímpar, não seria fechado. Além disso, se for de grau 0 (par) e de grau 1 (ímpar), a soma terá grau 1, que não pertence a .
  • Conclusão: não é um subespaço.

Resposta

A resposta correta é a opção C. II e III.

Exercícios relacionados