Quais dos conjuntos abaixo são subespaços de
III-
(feito em aula)
NAU IV-
grau de
é par
. fuito em aula
A. I e II
B. I e IV
C. II e III
D. II, III e IV
E. II e IV
F. III e IV
G. I, II e IV
H. I, II e III
III-
NAU IV-
A. I e II
B. I e IV
C. II e III
D. II, III e IV
E. II e IV
F. III e IV
G. I, II e IV
H. I, II e III
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar quais dos conjuntos apresentados são subespaços de
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 3 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar cada conjunto dado para ver se ele satisfaz as condições necessárias.
Passo 2
Primeiro, o que é um subespaço vetorial? É um conjunto de vetores (neste caso, polinômios) que satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero (no nosso caso, o polinômio zero).
- Fechado sob adição: Se você pegar dois polinômios no conjunto e somar eles, o resultado também está no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um polinômio no conjunto e multiplicar por um número real, o resultado também está no conjunto.
Vamos aplicar essas condições para cada conjunto dado no exercício.
Passo 3
Conjunto I:
possui pelo menos uma raiz real }
- Verificando o vetor zero: O polinômio zero tem todas as raízes reais, então está em
. - Fechamento sob adição: Vamos ver dois polinômios em
. Por exemplo, (que tem a raiz ) e (que tem as raízes e ). A soma deles é . Esse novo polinômio não tem raízes reais, já que não tem solução no conjunto dos reais. Então, não é fechado sob adição. - Conclusão:
não é um subespaço.
Passo 4
Conjunto II:
- Verificando o vetor zero:
satisfaz , então está em . - Fechamento sob adição: Se
e estão em , então e . A soma tem , então está em . - Fechamento sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um real, então , então está em . - Conclusão:
é um subespaço.
Passo 5
Conjunto III:
- Verificando o vetor zero:
satisfaz , então está em . - Fechamento sob adição: Se
e estão em , então e . A soma tem , então está em . - Fechamento sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um real, então , então está em . - Conclusão:
é um subespaço.
Passo 6
Conjunto IV:
grau de
é par
- Verificando o vetor zero: O polinômio zero pode ser considerado de grau indefinido, mas geralmente não é considerado de grau par. Contudo, para os propósitos de subespaço, precisamos ver se ele está ou não.
- Fechamento sob adição: Mesmo que consideremos que o polinômio zero está em
, se pegarmos dois polinômios com grau par, a soma deles pode ter grau ímpar. Por exemplo, (grau 2) e (grau 2). A soma ainda é grau 2, mas se tiver outro exemplo onde a soma resulta em grau ímpar, não seria fechado. Além disso, se for de grau 0 (par) e de grau 1 (ímpar), a soma terá grau 1, que não pertence a . - Conclusão:
não é um subespaço.
Resposta
A resposta correta é a opção C. II e III.