Seja V=R^2 e sejam B1=(2,1)^T,(2,4)^T e B2=(1,-1)^T,(1,2)^T bases para R^2.
a) Encontre a matriz mudança de base da base B2 para a base B1.
& (1,-1)^top=a1(2,1)^top+b1(2,4)^top l 2 a1+2 b1=1 a1+4 b1=-1
& Vamos resolver os dois sistemas: l a2+4 b2=2
[cc:cc 2 & 2 & 1 & 1 1 & 4 & -1 & 2 ] [cc:cc 1 & 4 & -1 & 2 2 & 2 & 1 & 1 ] [cc:cc 1 & 4 & -1 & 2 0 & -6 & 3 & -3 ] [cc:cc 1 & 4 & -1 & 2 0 & 1 & -1 / 2 & 1 / 2 ]

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos precisamos usar. Temos o espaço vetorial R^2 e duas bases diferentes, B1 = (2,1)^T, (2,4)^T e B2 = (1,-1)^T, (1,2)^T. O objetivo é encontrar a matriz de mudança de base que converte as coordenadas de um vetor da base B2 para a base B1. Para isso, vamos precisar saber como expressar cada vetor de B2 como combinação linear dos vetores de B1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Essa matriz, que chamaremos de PB1 B2, permite converter as coordenadas de vetores de uma base para outra. Neste caso, queremos converter de B2 para B1.

Passo 3

Para encontrar PB1 B2, precisamos expressar cada vetor da base B2 como uma combinação linear dos vetores de B1. Ou seja, vamos escrever cada vetor de B2 em termos de (2,1)^T e (2,4)^T.

Passo 4

Vamos começar com o primeiro vetor de B2: (1,-1)^T. Queremos encontrar escalares a1 e b1 tais que:
(1,-1)^T = a1(2,1)^T + b1(2,4)^T

Passo 5

Isso nos dá um sistema de equações:
2a1 + 2b1 = 1 a1 + 4b1 = -1
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a1 e b1.

Passo 6

Podemos resolver o sistema por eliminação. Vamos multiplicar a segunda equação por 2 para facilitar a eliminação de a1:
2a1 + 2b1 = 1 2a1 + 8b1 = -2
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(2a1 + 8b1) - (2a1 + 2b1) = -2 - 1 6b1 = -3 b1 = -12

Passo 7

Agora substituímos b1 = -12 na primeira equação do sistema original:
2a1 + 2(-12) = 1 2a1 - 1 = 1 2a1 = 2 a1 = 1

Passo 8

Portanto, temos:
(1,-1)^T = 1 cdot (2,1)^T - 12 cdot (2,4)^T
Assim, a primeira coluna da matriz de mudança de base PB1 B2 é:
1 -12

Passo 9

Agora, vamos repetir o mesmo processo para o segundo vetor da base B2: (1,2)^T. Queremos encontrar escalares a2 e b2 tais que:
(1,2)^T = a2(2,1)^T + b2(2,4)^T

Passo 10

Isso nos dá outro sistema de equações:
2a2 + 2b2 = 1 a2 + 4b2 = 2
Vamos resolver este sistema para encontrar a2 e b2.

Passo 11

Novamente, usamos a eliminação. Multiplicamos a segunda equação por 2:
2a2 + 2b2 = 1 2a2 + 8b2 = 4
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(2a2 + 8b2) - (2a2 + 2b2) = 4 - 1 6b2 = 3 b2 = 12

Passo 12

Substituindo b2 = 12 na primeira equação do sistema:
2a2 + 2(12) = 1 2a2 + 1 = 1 2a2 = 0 a2 = 0

Passo 13

Portanto, temos:
(1,2)^T = 0 cdot (2,1)^T + 12 cdot (2,4)^T
Assim, a segunda coluna da matriz de mudança de base PB1 B2 é:
0 12

Resposta

A matriz de mudança de base da base B2 para a base B1 é:
PB1 B2 = 1 & 0 -dfrac12 & dfrac12

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