Seja
e sejam
e
bases para
.
a) Encontre a matriz mudança de base da base
para a base
.
a) Encontre a matriz mudança de base da base
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos precisamos usar. Temos o espaço vetorial
e duas bases diferentes,
e
. O objetivo é encontrar a matriz de mudança de base que converte as coordenadas de um vetor da base
para a base
. Para isso, vamos precisar saber como expressar cada vetor de
como combinação linear dos vetores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Essa matriz, que chamaremos de
, permite converter as coordenadas de vetores de uma base para outra. Neste caso, queremos converter de
para
.
Passo 3
Para encontrar
, precisamos expressar cada vetor da base
como uma combinação linear dos vetores de
. Ou seja, vamos escrever cada vetor de
em termos de
e
.
Passo 4
Vamos começar com o primeiro vetor de
:
. Queremos encontrar escalares
e
tais que:
Passo 5
Isso nos dá um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
.
Passo 6
Podemos resolver o sistema por eliminação. Vamos multiplicar a segunda equação por 2 para facilitar a eliminação de
:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Passo 7
Agora substituímos
na primeira equação do sistema original:
Passo 8
Portanto, temos:
Assim, a primeira coluna da matriz de mudança de base
é:
Passo 9
Agora, vamos repetir o mesmo processo para o segundo vetor da base
:
. Queremos encontrar escalares
e
tais que:
Passo 10
Isso nos dá outro sistema de equações:
Vamos resolver este sistema para encontrar
e
.
Passo 11
Novamente, usamos a eliminação. Multiplicamos a segunda equação por 2:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Passo 12
Substituindo
na primeira equação do sistema:
Passo 13
Portanto, temos:
Assim, a segunda coluna da matriz de mudança de base
é:
Resposta
A matriz de mudança de base da base
para a base
é: