Quais conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial k[x]𝕜 ? Justifique sua resposta.
(b) Os polinômios da forma p(x)=a+x^2 com a in k𝕜.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que verificar se o conjunto dos polinômios da forma , onde é um número da base 𝕜, é um subespaço do espaço vetorial 𝕜. Aqui, estamos lidando com espaços vetoriais e subespaços, então vamos ver o que precisamos para resolver isso.

Passo 2

Um subespaço de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição (se pegarmos dois elementos do subespaço, a soma deles também está no subespaço).
  3. É fechado sob multiplicação por escalar (se pegarmos um elemento do subespaço e multiplicarmos por um escalar, o resultado também está no subespaço).
Vamos verificar essas condições para o conjunto dos polinômios .

Passo 3

1. Verificar se contém o vetor zero:
O vetor zero no espaço dos polinômios é o polinômio zero, ou seja, a + x^2 = 0 . Vamos ver se conseguimos encontrar um tal que .
Para que isso seja verdade para todo , precisamos que e . Mas não é zero para todo , a menos que , o que não é o caso no espaço vetorial. Portanto, o vetor zero não está neste conjunto.

Passo 4

2. Verificar se �� fechado sob adição:
Vamos pegar dois polinômios do conjunto:
p1(x) = a1 + x^2
p2(x) = a2 + x^2
A soma deles é:
p1(x) + p2(x) = (a1 + a2) + 2x^2
Para que a soma pertença ao conjunto, ela deve ter a forma . No entanto, vemos que temos em vez de , o que não corresponde à forma requerida. Portanto, o conjunto não é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificar se é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio do conjunto e multiplicar por um escalar c cdot p(x) = c(a + x^2) = ca + c x^2 :
Para que o resultado pertença ao conjunto, ele deve ter a forma . No entanto, temos em vez de , a menos que . Isso significa que, em geral, o conjunto não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto dos polinômios da forma com 𝕜 não é um subespaço de 𝕜, pois não contém o vetor zero, nem é fechado sob adição e multiplicação por escalar.

Exercícios relacionados