Quais conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial
? Justifique sua resposta.
(b) Os polinômios da forma
com
.
(b) Os polinômios da forma
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que verificar se o conjunto dos polinômios da forma
, onde
é um número da base
, é um subespaço do espaço vetorial
. Aqui, estamos lidando com espaços vetoriais e subespaços, então vamos ver o que precisamos para resolver isso.
Passo 2
Um subespaço de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição (se pegarmos dois elementos do subespaço, a soma deles também está no subespaço).
- É fechado sob multiplicação por escalar (se pegarmos um elemento do subespaço e multiplicarmos por um escalar, o resultado também está no subespaço).
Vamos verificar essas condições para o conjunto dos polinômios
.
Passo 3
1. Verificar se contém o vetor zero:
O vetor zero no espaço dos polinômios é o polinômio zero, ou seja,
. Vamos ver se conseguimos encontrar um
tal que
.
Para que isso seja verdade para todo
, precisamos que
e
. Mas
não é zero para todo
, a menos que
, o que não é o caso no espaço vetorial. Portanto, o vetor zero não está neste conjunto.
Passo 4
2. Verificar se �� fechado sob adição:
Vamos pegar dois polinômios do conjunto:
A soma deles é:
Para que a soma pertença ao conjunto, ela deve ter a forma
. No entanto, vemos que temos
em vez de
, o que não corresponde à forma requerida. Portanto, o conjunto não é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificar se é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio do conjunto e multiplicar por um escalar
:
Para que o resultado pertença ao conjunto, ele deve ter a forma
. No entanto, temos
em vez de
, a menos que
. Isso significa que, em geral, o conjunto não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto dos polinômios da forma
com
não é um subespaço de
, pois não contém o vetor zero, nem é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
Exercícios relacionados
Seja
o conjunto de pontos de
no exterior e na borda do círculo unitário. Ou seja,
. Obtenha um exemplo específico - dois vetores ou um vetor e um escalar - para mostrar que
não é um subespaço de
.
Mostre que
é um conjunto gerador de
.
Quais conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial
? Justifique sua resposta.
(a) Os polinômios da forma com
.
(a) Os polinômios da forma
Prove que
.